和先生与积生问题.doc

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1、题目：有两个不相等的整数x，y，它们都大于1且和小于100，数学家“和先生”知道这两个数的和，数学家“积先生”知道这两个数的积，他们进行了如下对话：积先生：我不知道x和y分别是啥。和先生：我知道你不知道。积先生：我现在知道了。和先生：如果你知道了，那我也知道了。那么，x和y各是多少？方法一：设两数之和x+y=H，两数之积x*y=J。由和先生说：我知道你不知道。可知对于已知H,其任意x,y对应的J都有不止当前的一组解（因为x,y为整数且大于1，所以x,y必不能两个都是质数）。（如果H有三组x,y；就算他只有一组x,y都是质

2、数，和先生都不能确认积先生不知道。）例如：H=7时，（x,y）=(2,5)；(3,4)。此时对于（x,y）=(2,5)，对应J=10仅有一组解（这里不要纠结x,y哪个是2，哪个是5）。2,5两个都是质数。所以H不可能为7。H=11时，（x,y）=(2,9)J=18；(3,8)J=24；(4,7)J=28；(5,6)J=30，就符合其任意x,y对应的J都有不止当前的一组解。J=18(2,9)；(3,6)。J=24(3,8)；(4,6)；(2,12)。J=28(4,7)；(2,14)。J=30(5,6)；(3,15)。所以H

3、=11符合。因为x，y大于1，且不相等的整数，所以4＜H＜100。先讨论H为偶数时，H=6:(2,4)；H=8:(3,5)；H=10:(3,7)；H=12:(5,7)；H=14:(3,11)；H=16:(3,13)；H=18:(5,13)；H=20:(3,17)；H=22:(3,19)；H=24:(5,19)；H=26:(3,23)；H=28:(5,23)；H=30:(7,23)；H=32:(3,29)；H=34:(3,31)；H=36:(5,31)；H=38:(7,31)；H=40:(3,37)；H=42:(5,37)

4、；H=44:(3,41)；H=46:(3,43)；H=48:(5,43)；H=50:(3,47)；H=52:(5,47)；H=54:(7,47)；H=56:(3,53)；H=58:(5,53)；H=60:(7,53)；H=62:(3,59)；H=64:(3,61)；H=66:(5,61)；H=68:(7,61)；H=70:(3,67)；H=72:(5,67)；H=74:(3,71)；H=76:(3,73)；H=78:(5,73)；H=80:(7,73)；H=82:(3,79)；H=84:(5,79)；H=86:(3,83

5、)；H=88:(5,83)；H=90:(7,83)；H=92:(3,89)；H=94:(5,89)；H=96:(7,89)；H=98:(19,79)；（必有两个质数）故H为偶数时不可能。（哥德巴赫猜想（未证明，但最少在100以内的偶数是成立的）：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和）当H为奇数时，H=5时，（x,y）=(2,3)J=5；不符合。H=7时，（x,y）=(2,5)J=10；不符合。H=9时，（x,y）=(2,7)J=14；不符合。H=11时，（x,y）=(2,9)J=18；(3,8)J=24；(4,7)J=2

6、8；(5,6)J=30符合。H=13时，（x,y）=(2,11)J=22；不符合。H=15时，（x,y）=(2,13)J=26；不符合。H=17时，（x,y）=(2,15)J=30；(3,14)J=42；(4,13)J=52；(5,12)J=60；(6,11)J=66；(7,10)J=70；(8,9）J=72符合。H=19时，（x,y）=(2,17)J=34；不符合。H=21时，（x,y）=(2,19)J=38；不符合。H=23时，（x,y）=(2,21)J=42；(3,20)J=60；(4,19)J=76；(5,18)

7、J=90；(6,17)J=102；(7,16)J=112；(8,15）J=120；(9,14)J=126；(10,13)J=130；(11,12)J=132符合。H=25时，（x,y）=(2,23)J=46；不符合。H=27时，（x,y）=(2,25)J=50；(3,24)J=72；(4,23)J=92；(5,22)J=110；(6,21)J=126；(7,20)J=140；(8,19）J=152；(9,18)J=162；(10,17)J=170；(11,16)J=176；(12,15)J=180；(13,14)J=18

8、2；符合。H=29时，（x,y）=(2,27)J=54；(3,26)J=78；(4,25)J=100；(5,24)J=120；(6,23)J=138；(7,22)J=154；(8,21）J=168；(9,20)J=180；(10,19)J=190；(11,18)J=198；(12,17)J=204；(13,16)J=