和先生和积先生问题

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1、题目：有两个不相等的整数X,y,它们都大于1且和小于100,数学家“和先生”知道这两个数的和，数学家“积先生”知道这两个数的积，他们进行了如下对话：积先生：我不知道X和y分别是啥。和先生：我知道你不知道。积先生：我现在知道了。和先生：如果你知道了，那我也知道了。那么,和y各是多少?方法-设两数之和x+y二H,两数之积x*y二J。由和先生说：我知道你不知道。可知对于已知H,其任意x,y对应的J都有不止当前的一组解(因为x,y为整数且大于1,所以x,y必不能两个都是质数)。(如果II有三组x,y；就算他只有一组x,y都是质数，和先生都不能确认积先生不知道。)例如：H二7

2、时，(x,y)=(2,5)；(3,4)。此时对于(x,y)=(2,5),对应J二10仅有一组解(这里不要纠结x,y哪个是2,哪个是5)o2,5两个都是质数。所以H不可能为7。H=ll时,(x,y)=(2,9)J=18；(3,8)J=24；(4,7)J=28；(5,6)J=30,就符合其任意x,y对应的J都有不止当前的一组解OJ=18(2,9)；(3,6)。J二24(3,8)；(4,6)；(2,12)。〕二28(4,7)；(2,14)。>30(5,6)；(3,15)。所以H二11符合。因为x,y大于1,且不相等的整数，所以4

3、,4)；H=8:(3,5)；H=10:(3,7)；H=12:(5,7)；H二14:(3,11)；H二16H二2811=40H二52H二64H二76II二86Il二98(3,13)；(5,23)；(3,37):(5,47)；(3,61)；(3,73):78:(5,73)；20(3,17)；22:(3,19)；H24:(5,19)；32(3,29)；34:(3,31)；II36:(5,31)；44(3,41)；46:(3,43)；II48:(5,43)；56(3,53)；58:(5,53)；H60:⑺53)；68(7,61)；70:(3,67)；H72:(5,67):H

4、=18:(5,13)；11=30:⑺23)；H=42:(5,37)；H二54:(7,47)；H二66:(5,61)；80:⑺73)；H二82:(3,79)；H=84:(5,79)；H二26:(3,23)；II二38:(7,31)；II二50:(3,47)；H二62:(3,59)；H二74:(3,71)；(3,83):H=88:(5,83)；11=90:(7,83)；H=92:(3,89)；11=94:(5,89):I匸96:(7,89)；(19,79)；(必有两个质数)故II为偶数时不可能。(哥德巴赫猜想(未证明，但最少在100以内的偶数是成立的)：任一大于2的偶数

5、都可写成两个质数Z和)当H为奇数时，H二5时，(x,y)二(2,3)J二5；不符合。H二7时，(x,y)二(2,5)J二10；不符合。H二9时，(x,y)二(2,7)J二14；不符合。HHHH11时,13时,15时,17时,(7,10)J=70；H=19时,H=21时，H=23时，⑺⑹J=112；H=25时，H=27时，(x,y)=(2,9)J=18；(x,y)二(2,11)J二22；(x,y)=(2,13)J=26；(x,y)=(2,15)J=30；(8,9)J=72(x,y)=(2,17)J=34；(x,y)=(2,19)J=38；(x,y)=(2,21)J=4

6、2；(3,8)J=24；(4,7)J=28；(5,6)J=30符合。不符合。不符合。(3,14)J=42；(4,13)J=52；(5,12)J=60；(6,11)J=66；符合。不符合。不符合。(3,20)J=60；(4,19)J=76；(5,18)J=90；(8,15)J=120；(9,14)J=126；(10,13)J=130；(11,12)J=132(x,y)=(2,23)J=46；不符合。(x,y)=(2,25)J=50；(3,24)J=72；(4,23)J=92；(5,22)J=110；(6,17)J=102；符合。(6,21)J=126；(7,20)J=

7、140；(8,19)J=152；(9,18)J=162；(10,17)J=170；(11,16)J=176；(12,15)J=180；(13,14)J=182；符合。H=29时，(x,y)=(2,27)J=54；(3,26)J=78；(4,25)J=100；(5,24)J=120；(6,23)J=138；(7,22)J=154；(8,21)J=168；(9,20)J=180；(10,19)J=190；(11,18)J=198；(12,17)J=204；(13,16)J=208；(14,15)J=210符合。H=31时，H二33时,(x,y)=(2,29)J=58