[高中教育]341 基本不等式.ppt

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1、基本不等式两个正数的几何平均数两个正数的算术平均数注意：两个不等式的适用范围不同;国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.2002年8月20日在北京召开第24届国际数学家大会，由中国最高国家科技奖得主、著名数学家吴文俊任大会主席.这是第一次在发展中国家举办的规模最大的数学会议.有同学知道这一届国际数学家大会的会标吗？2002年国际数学家大会会标如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代

2、数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．BACDEFGHBACDEFGH则正方形ABCD的面积是________，这4个直角三角形的面积之和是_________，设AE=a,BE=b,a2+b22ab>几何法证明BACDEFGHBACDabEFGH当且仅当a=b时，等号成立得出结论：证明：因为①你能给出它的证明吗？思考一般地,如果a、b∈R,那么a2＋b2≥2ab.(当且仅当a=b时取“=”号)代数法证明公式变形①若a>

3、0,b>0,以分别替换不等式a2+b2≥2ab中的a,b,我们将得到什么结果?即②能否利用不等式的性质直接推导这个不等式呢?要证（2），只要证a+b-0（3）要证（3），只要证（-）0（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。要证从不等式的性质推导基本不等式:只要证a+b≥(2)2(1)①若a>0,b>0,以分别替换不等式a2+b2≥2ab中的a,b,我们将得到什么结果?即②能否利用不等式的性质直接推导这个不等式呢?③这种方法是拿着结果找原因,能否直接根据原因证明结果?试一试.公式变形ABCDE如图,AB是

4、圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则CD=＿＿,半径为＿＿几何证明方法o即◆对两个正数a,b，叫做正数a与b的_________叫做正数a与b的两个正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数算术平均数几何平均数小结应用性结论：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项平均值定理常称作“均值不等式”,它是一个非常重要的不等式,常变形为基本应用：1.基本不等式在证明不等式中的应用2.基本不等式在求最值中的应用结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大

5、值利用基本不等式比较大小利用基本不等式比较实数大小(1)在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0,b>0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式.在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用.【例1】已知a、b是正数，试比较与的大小.【审题指导】由题目可获取以下主要信息：（1）a,b是正数；（2）一个“和式”与一个“积式”比较大小，可以利用基本不等式解答.【规范解答】∵a>0,b>0,∴≥>0.∴≤=.即≤.【变式训练】若0

6、a+b,2ab,a2+b2中最大的一个是()（A）a2+b2（B）（C）2ab（D）a+b【解析】选D.∵0,a2+b2>2ab.∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)又∵0

7、常用方法.(2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运用基本不等式的条件，若条件中有一个多项式的和为1，要注意“1”的代换.证题过程中不要漏掉等号成立的说明.【例2】已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+c＞++.【审题指导】由题目可获取以下主要信息：（1）a,b,c为不全相等的正数；（2）所证不等式的结构与基本不等式相符，故可用基本不等式给出证明.【规范解答】∵a＞0,b＞0,c＞0,∴a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2.∴2(a+b+c)≥2(++),即a+b+c≥++.由于a,b,c为不全相等的正实数,

8、故等号不成立.∴a+b+c＞++.【互动探究】若条件不变，结论改为a2+b2+c2>ab+bc+ac,怎样证明.【证明】∵a>0,b>0,c>0,∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc