初三数学开放与探索总复习

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1、初三数学开放与探索总复习专题三　开放与探索开放探索型问题有条开放与探索、结论开放与探索、条结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．题型以填空题、解答题为主．考向一　条开放问题条开放探索问题的特征是缺少确定的条，所需补充的条不能由结论直接推出，而满足结论的条往往也是不唯一的．【例1】如图，已知A⊥BD于点P，AP＝P，请增加一个条：使△ABP≌△DP(不能添加辅助线)，你增加的条是__________．解析：要证明△ABP≌△DP，已经给出了两个条：AP＝P，A⊥BD(即∠

2、APB＝∠PD＝90°)，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条角或者边．答案：∠A＝∠，∠B＝∠D，AB∥D，BP＝DP，AB＝D．(任选其中一个)方法归纳解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条．考向二　结论开放问题结论开放探索问题是给出问题的条，让解题者根据条探索相应的结论，符合条的结论往往呈现多样性．【例2】(2011广东河)如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与A，B重合)，分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正△AP和正△P

3、BD．(1)当△AP与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝__________(直接写结果)(2)连接AD，B，相交于点Q，设∠AQ＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由．(3)如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)图1　　图2分析：(1)设等边△AP边长为x，高为32x，则面积为34x2，则等边△BDP边长为2a－x，高为32(2a－x)，则面积为34(2a－x)2，面积之和为S＝34x2＋34(2a－x)2＝32x2－3ax＋3a2，

4、这是一个二次函数的最值问题．当x＝a时，S最小＝32a2(2)判别α的大小是否会随点P的移动而变化，只需计算∠AQ．(3)根据(2)证明过程或直观可得结论．解：(1)a(2)α的大小不会随点P的移动而变化．理由：∵△AP是等边三角形，∴PA＝P，∠AP＝60°∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠AP＝∠BPD，∴∠APD＝∠PB，∴△APD≌△PB，∴∠PAD＝∠PB．∵∠QAP＋∠QA＋∠AP＝120°，∴∠QP＋∠QA＋∠AP＝120°，∴∠AQ＝180°－120°＝60°(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°方法

5、归纳解答本题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答本题的难点．解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求．考向三　条与结论开放问题条、结论开放探索问题是指条和结论都不唯一，此类问题没有明确的条和结论，并且符合条的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．【例3】(1)如图1，在正方形ABD中，是B边(不含端点B，)上任意一点，P是B延长线上一点，N是∠DP的平分线上一点．若∠AN＝90°，求证：A＝N下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明

6、：在边AB上截取AE＝，连接E正方形ABD中，∠B＝∠BD＝90°，AB＝B．∴∠N＝180°－∠AN－∠AB＝180°－∠B－∠AB＝∠AB＝∠AE(下面请你完成余下的证明过程)图1　　图2(2)若将(1)中的“正方形ABD”改为“正三角形AB”(如图2)，N是∠AP的平分线上一点，则当∠AN＝60°时，结论A＝N是否还成立？请说明理由．(3)若将(1)中的“正方形ABD”改为“正n边形ABD…X”，请你作出猜想：当∠AN＝__________时，结论A＝N仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)分析：证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三

7、角形全等．(1)中给出了线段E，即想提示考生证明△AE≌△N由题目中的条知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上构造出线段AE＝，连接E进一步证明△AE≌△N(3)是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AN与正多边形的内角度数相等．解：(1)∵AE＝，∴BE＝B，∴∠BE＝∠EB＝4°，∴∠AE＝13°∵N平分∠DP，∴∠PN＝4°，∴∠AE＝∠N＝13°在△AE和△N中，∵∠AE＝∠N，AE＝，∠EA＝∠N，∴△AE≌△N，∴A＝N(2)仍然成立．在边AB上截取AE＝，连接E∵△AB是等边三角形，∴AB＝B，∠B＝∠A

8、B＝60°，∴∠AP＝120°∵AE＝，∴BE＝B，∴∠BE＝∠EB＝60°，∴∠AE＝120°∵N平分∠A