函数模型及其应用_1

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1、函数模型及其应用数学必修1：函数模型及其应用1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解这些步骤用框图表示是：例1如图所示，在矩形ABD中，已知AB=a，B=b（b＜a）,在AB，AD，D，B上分别截取AE，AH，G，F都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？

2、并求出最大面积解：设四边形EFGH的面积为S，则S△AEH=S△FG=x2,S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x），∴S=ab-2［2+（a-x）（b-x）］=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+由图形知函数的定义域为{x

3、0＜x≤b}又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b时，则当x=时，S有最大值;若＞b,即a＞3b时，S（x）在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-)2+=ab-b2,综上可知，当a≤3b时，x=时，四边形面积Sax=,当a＞3b时，x=b

4、时，四边形面积Sax=ab-b2变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值解：设每个提价为x元（x≥0），利润为元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，进货总额为8（100-10x）元，显然100-10x＞0,即x＜10,则=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x

5、)=-10(x-4)2+360(0≤x＜10)当x=4时，取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元例2据气象中心观察和预测：发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形AB在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（）（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出；（3）若N城位于地正南方向，且距地60，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭

6、到N城？如果不会，请说明理由解：（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,∴s=×4×12=24（2）当0≤t≤10时，s=•t•3t=t2，当10＜t≤20时，s=×10×30+30（t-10）=30t-10；当20＜t≤3时，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-0综上可知s=(3)∵t∈［0，10］时，sax=×102=10＜60t∈（10，20］时，sax=30×20-10=40＜60∴当t∈（20，3］时，令-

7、t2+70t-0=60解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤3,∴t=30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）02万元市场对此产品的年需求量为00台，销售的收入函数为R（x）=x-（万元）(0≤x≤)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数；[:学≈科≈网Z≈X≈X≈]（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？

8、解：（1）当x≤时，产品能售出x百台；当x＞时，只能售出百台，故利润函数为L（x）=R（x）-（x）=(2)当0≤x≤时，L（x）=47x--0，当x=47时，L(x)ax=107812万元当x＞时，L（x）=12-02x为减函数，此时L（x）＜107(万元）∴生产47台时利润最大（3）由得x≥47-=01(百台）或x＜48(百台)∴产品年产量在10台至4800台时，工厂不亏本例3某市居民自水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为180元，当用水超过4吨时，超过部分每吨300元，某月甲、乙两户共

9、交水费元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为x，3x吨（1）求关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费264元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即x≤4，乙的用水量也不超过4吨，=（x+3x）×18=144x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时