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1、一．矩阵等价行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价矩阵等价的充要条件1.存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B2.R(A)=R(B)二．向量的线性表示Case1：向量能由向量组A线性表示:b=λ1α1+λ2α2+λ3α3+…+λmαm充要条件:1.线性方程组A=b有解2.R(A)=R(A,b)Case2：向量组B能由向量组A线性表示充要条件：R(A)=R(A,B)推论∵R(A)=R(A,B)
2、,R(B)≤R(A,B)∴R(B)≤R(A)Case3：向量组A能由向量组B线性表示充要条件：R(B)=R(B,A)推论∵R(B)=R(A,B),R(A)≤R(A,B)∴R(A)≤R(B)Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价充要条件:R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)Case5：n维单位坐标向量组En能由矩阵A的列向量组线性表示充要条件是:R(A)=R(A,E)n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n，所以R(A)=n=R(A,E)三．线性方程组的解1.非齐次线性方程组（1）R(A)=R(A,B)
3、,方程有解.（2）R(A)=R(A,B)=n，解唯一.（3）R(A)=R(A,B)4、e2：向量组A只包含一个向量，是零向量，向量组A线性无关;是非零向量，向量组A线性无关。Case3：两个向量线性相关，向量的分量对应成比例Case4：三个向量线性相关，向量共面向量组线性无关向量组A：a1,a2,…,am线性无关如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．充要条件（1）m元齐次线性方程组Ax=0只有零解．（2）矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m．（3）向量组A中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．重要推论：1.若向量组A：a1,a2,…,am线性相关，
5、则向量组B：a1,a2,…,am,am+1也线性相关．其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．2.m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时，一定线性相关．向量组形状成长方形3.特别地，n+1个n维向量一定线性相关．设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，而向量组B：a1,a2,…,am,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的．五.斯密特正交化第二步单位化，令六、正交阵n阶矩阵A是正交阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交;A的行向量都是单位向量且两两正交。
