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1、利用LINGO软件优化数学模型邓磊西南大学数学与统计学院2011年4月15日1提纲问题1合建水厂问题的优化问题2选址问题的优化2问题1合建水厂问题的优化在河边（X轴）有两座城市A、B,其坐标分别是A(1,5),B(6,4),现要合建一个自来水厂,向它们供水.试设计自来水厂的位置以及铺设水管的方法,使所铺设的水管总长度为最短.这个问题实际上也是一个选址问题,通过对几种选址方案的比较而得出最佳方案.31.特殊点法建模图1特殊点法4首先考虑在几个特殊位置建立水厂，如图1，(1)在离A最近的河边A1处建
2、水厂,水管从A1分别铺设到A、B,得出水管总长度11.40;(2)在离B最近的B1处建水厂,水管从B1分别铺设到A、B,得出水管总长度11.07;(3)仍在离A最近的A1处建水厂,但B厂的水管经过A,得出水管总长度10.40;(4)仍在离B最近的B1处建水厂,但到A厂的水管经过B,得出水管总长度9.10.上述四个模型中，水管总长度每后一个比前一个小,同时表明水管总长与水厂位置及水管铺设方法均有关.52.对称点连线法建模如果水管必须分别从水厂铺设,则1中的(3)、(4)不合要求,但(1)、(2)中
3、的铺设方法也不是最佳的.图2对称点法6利用光行最速原理求解：如图2，先作点B关于X轴的对称点B'(6,-4),再作线段AB'交X轴于点W,以点W为自来水厂的位置,水管按折线AWB铺设成V型,所用水管总长为10.30,该结果优于(1)、(2)、(3)方法.但还不如(4)中方法好.应该说，许多中学数学教师认为，2中的模型已经是最优了，未参加过数学建模培训的大学生基本上都是给出这个答案.73.利用费尔马点建模在2中W点建立水厂,改进水管铺设方法.8图3费尔马点法9当然,也可在W点取水,而在N点建立水厂
4、进行净化处理后再分别输送到A、B,水管总长度不变.如图3，取△ABW的费尔马点N,在W处建厂,先铺设总水管至N再分别铺设到A、B,这时的水管总长度为8.85,比前几种方案都更优.104.改进费尔马点建模即便是参加过数学建模培训的大学生，通常也会认为3中的解就是最优解了.但只要注意到NW并不与x轴垂直就会想到还可通过改变水厂位置进一步优化.移动W点使NW与x轴垂直,则水管总长还会变小,但随着W点的移动，相应地N又不是新位置的△ABW的费尔马点了,进一步改变N点的位置,又改变W点的位置,…,如此下去
5、,何时才是最优解呢？11如图4,设水厂的位置建在点M处,显然M应在A1与B1之间,设N(x,y)为△ABM的费尔马点,则只有当MN⊥X轴时,才可能使AN+BN+MN达到最短,于是设点M的坐标为M(x,0).过点N作直线PQ∥X轴交AA1于P、交BB1于Q.图4改进费尔马点法12由费尔马点性质可知,ANM=∠BNM=120度,从而∠ANP=∠BNQ=30度,由列出方程组得求解得由此得N(4.37,3.06),M(4.36,0),这时的水管总长度为8.83.135.利用Lingo求解利用Lingo建
6、模求解,设N(x,y),M(m,0),则只需求x,y,m使NA+NB+NM最小,将AB的坐标代入,得如下程序.MODEL:MIN=@SQRT((x-1)^2+(y-5)^2)+@SQRT((x-6)^2+(y-4)^2)+@SQRT((x-m)^2+(y-0)^2);END运行得出的结果与4一致,表明4中的结果已经是优化到最佳状态了.146.优化效果比较设计方案编号1235467水管总长度11.411.0710.410.39.18.858.83每次优化比例2.89%6.05%0.96%11.65
7、%2.75%0.23%与最长水管比2.89%8.77%9.65%20.18%22.37%22.54%15123456A1.258.750.505.753.007.25B1.250.754.755.006.507.75D3547611某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置(用平面坐标表示,距离单位：km)及水泥日用量(单位：t)如下表，而在P(5,1)及Q(2,7)处有两个临时料场,日储量各有20t,如何安排运输,可使总的吨公里数最小?问题2选址问题的优化161.料场位置确定时的最少运量设第i
8、个工地的坐标为(ai,bi),水泥用量为di,第j个两个临时料场的坐标为(xj,yj),水泥日储量为ej,从第j个料场运到第i个工地的水泥为c(i,j),则有如下数学模型17目标函数：需求约束：非负约束：供应约束：18c(i,j)为决策变量,可编制如下程序：MODEL:SETS:demand/1..6/:a,b,d;supply/1..2/:x,y,e;link(demand,supply):c;ENDSETSDATA:a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;!需求点的位置;b=
