多思善联 解法自然.pdf

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1、中学生数学·2015年5月上·第513期(高中)寸善联解法察安徽省灵璧中学(234200)侯立刚路2014年普通高等学校招生考试浙江数学在直线z+y一一口上又在圆+Y一1一Ⅱ酝文科卷16题，虽然是小题，但内涵丰富，人手很上，从而直线与圆有公共点，于是由圆心到直万宽，解法灵活，可以从多方面考查学生的基础线的距离不超过半径得：≤~／，F，解得知识和基本技能，是值得研究的一道好题．√Z湛1．题目已知实数n、b、C满足n+b+C一n≤÷(以下略)．0，n+6+c一1，则n的最大值是．——注：把二元平方和的等式看成圆的方程

2、，2．解法二元一次和的等式看成直线的方程，利用直线思路1(对称性法)因为n+b+c===0，n。+6+c。一1，与圆有公共点，数形结合，直观简捷．所以b与C地位相同，由对称性知，n在b思路4(判别式法)把6一一n—c代入口+b+c===1得2c+—C时取得最值．2ac-4-2a。一l一0，此关于C的一元二次方程有此时{：2?6z+。O‘．消去6可得。z一，实数解，于是(2n)一4×2×(2a一1)≥0，解得。z一1，消去6可得n一号，n≤÷(以下略)．所以a的最大值为．注：判别式法是解决含参数的二次方程有注：本题

3、是填空题，不需要解题过程，利用解问题的主要工具，也是求参数取值范围的重对称性就可以快速得到答案．要手段．思路2(均值不等式法)思路5(柯西不等式法)_

4、n’而丁b2~i-C2由已知得f6+c一一日．由已知得{b2+c2=1_-。z。而—一≥由已知得{6z-4-cz一1口z．因为(+1z()(当且仅当6一c时等号成立)，·(6+c)≥(1×6+1×c)。(当且仅当b—f时等号成立)，所以2(1一n)≥(一n)，解得n≤即≥()‘，9÷(以下略)．解得。nz。≤÷，从而一≤≤，注：二元柯西不等式：(口+b)(+Y)≥

5、(ax+by)，当且仅当ay—bx时等号成立．凡所以n的最大值为．是遇到已知一次式的和及其平方和的问题，利注：凡是已知一次式的和及其平方和的问用柯西不等式都可以快速求出参数范围．思路6(向量不等式法)题，利用不等式≥()z可以快速得到令一(1，1)，万一(6，c)，由l·I≤Il·参数的取值范围．l方l知，lb+cl≤·(当且仅当b—c思路3(数形结合法)时等号成立)，f万+f一一日．由已知得{6z+z一1-z，所以点‘6，c既即l—al≤~／2(1一n)，解得n≤÷(以下一一·18·一⋯najo⋯ct．中学生数

6、学·2015年5月上·第513期(高中)略)．所以(c+号)。一专一≥0，注：向量不等式l·I≤lIll，或(·if)。≤(1I·I引)，当且仅当与共解得a≤(以下略)．思线时等号成立．利用向量不等式解决已知平方路注：配方法是解决二次方程问题的根本方的和与和的平方的问题很简便．法，利用在实数范围内完全平方式的非负性得与思路7(均值换元法)到不等式，也是解决参数问题的常见思路．因为a+b+c一0，所以b+C一一a．令思路10(导数法)fa．一亏+把6一一a—c代入a+b。+c。一1，得C+湛jIc一一代入口zw+6

7、+c一1，得-[-2t一ac+口。一÷一0．号一，令c—ta，代入后得口。(1-I-t+t)一．1，所以2￡z一1一≥0，解得口z≤(以下略)．注：利用均值换元法能够快速的换掉条件即口2一专·研1．设)一，中的b、c，并且另一个条件可以用第三个变量的平方表示，从而利用非负性得到不等式．于是)一一．思路8(三角换元法)所以当tE(一。。，一÷)时，厂(f)>o；因为b。+C=1一a，所以设j6一~／一nc。s’代入6+：：：一n，当tE(一寺，+。。)时，厂(￡)<0．从而当￡lc一~／1一口sinO，一一时，厂(

8、)取得极大值也是最大值，所以得~／1一n·(cosO+sinO)一一a，,／2(1一口)sin(O+{)=一n，于是由正弦函数口的最大值为．有界性知l一口I2(1一日。)，注：导数是求可导函数最值的强有力的工具，解法自然流畅，易于操作．当然此时也可以解得a≤睾(以下略)．对，()配方．注：因为sin+COS一1，所以凡是遇到平3．感悟通过对一道小题多角度的分析，方和为常数的问题，都可以利用这种三角换沟通了知识之间的联系，探求出解决此类问题元，把两个变量之间的关系转化成第三个变量的常见方法，使知识与方法融会贯通，可

9、以拓问题，达到减元降维的目的．展思维，增强发散能力，达到举一反三、触类旁思路9(配方法)通的目的．寸把6一-a—c代入口-+-b+C一1，得C+(责审桨宇学)ac-{-0．2-1—0，配方得(c+号)+一丢．(上接第17页)有化繁为简、化难为易之作用，所以，在学习过因为它不但直观，容易接受，还可以从图像中程中，要加强看图、识图、绘图的能力，这是学直接读出函数一些性质，比如