等价思想在极限方面的应用.pdf

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1、教育教学等价思想在极限方面的应用王劲松(北京信息职业技术学院，北京100018)摘要：等价思想是数学理论中的一种重要思想，是数学理论的基础之一。这种思想有助于帮组学生开拓思维，并且能够增强对新事物的理解和掌握。这有助于强化学生处理各种数学方面问题的能力。等价无穷小代换是计算极限的一种常用，简单的方法，通过等价无穷小的代换思想可以将极限中的很多问题化繁为简，化难为易。本篇文章中，我们将对等价思想在极限中的应用进行总结，为读者整理出一些规律。关键词：等价、极限、代换1引言卜COSX~Xz／2，所以这道题很容易就看出来答

2、案是1／2。我举的这个例等价思想是数学学习的重要方法，也是一个重要的技巧。在高等子就是最简单的等价代换的例子，在这里大家需要记住几个等价代换数学中，学习的知识比较冗杂，学生在记忆大量的公式的过程中会遇的式子：到较大的困难。于是，我们可以在学习极限的过程中提出等价这一概(1)sirlx~x念。利用等价代换的思想减少公式的记忆量，从而降低运算的复杂(2)tanx~x度，提高运算的精准度。(3)1一COSX~X／2等价转化思想有助于强化学生处理各种数学方面问题的能力。等(4)arcsinx~x价无穷小代换是计算极限的一种

3、常用，简单的方法，通过等价无穷小(5)(1+x)一_1～ⅡX的代换思想可以将极限中的很多问题化繁为简，化难为易。(6)In(1+x)～x(7)eX-1～x2正论等等一系列的关系式，这个是需要大家熟记的。在求解极限问题上，我们实际上有很多种方式，比如利用极限定5等价思想的适用情况义、四则运算、两个基本原则、两个重要公式、变量代换、等价代换、恒等变形、洛必达法则、泰勒公式等等。其中，等价代换是计算值得注意的是，我们在上文中所讲的代换，在式子中仅能针对乘量最小，运算最为简便的。除项。对于加减项果讲，是不能够随意使用的。例

4、如下面的这道例所谓等价转化，就是一种体现“将解法未知的问题划归到已有的题：知识范围之内，并将其求解”的策略之上。其中，划归转化的方式又【例题2】．lira_■s■in■3五x⋯$11+$1rl，分为等价转化与非等价转化两种，我们在这里所讲的主要是等价转我们来看第一种解法：化，即转化过程中的前因后果既充分又必要的转化过程。3无穷小与等价无穷小，．sin3x，．3．．33I1m——一Il1in——=l1m——=一无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于O。确切地说，当自0sin2x+sin5x_+o2x+5x077变量

5、x无限接近x0(或X的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与0无限接第二种解法：近，即f(X)一0(或f(X)=O)，则称f(X)为当x—xO(或x一。。)时的无穷sin3x．．3COS3x3小量。，．j1m——⋯11rn—-+0sin2x+sin5x02c0s2x+5cos5x7那么无穷小是如何比大小的呢?^假设a’b都是lim时的无穷小，如果lim-~=0，就说b是比a的高阶两道题的答案相同，到底是哪个对呢?这需要我们认真的分析一一^“下。L无穷小。如果lira-~=O0，就是说b是比a的低阶无穷小。第一种解法使

6、用的是等价的思想。虽然从结果角度，两种方法的n计算结果是相同的。但是，在第一种方法里，分母项的等效替换没有t1比如b=1，口=二，x—oo的情况下，通俗的来讲，b时刻都比a更遵守替换只能代替多项式中的乘除项而不能使用加减项的原则。在加X1快地趋于0，所以称做a是b高阶；有c=÷，那么c比a，b的阶数都要减项中使用无穷小等价替换时，最大的问题在于需要考虑在同一因子L下的其余加减项是否有相同的变化性质，如果没有，则计算结果就会高，因为C更快地趋于O。如果lira_v=c(c≠O)，k>0，就说b是关于a的n出现偏差。本

7、题中的结果相同是因为在同一因子内都是可以使用相同n阶的无穷小，b$~an是同阶无穷小。类型的等价替换的，所以显示出的结果是没有变化的，但实际上，使用这种方法是错误的。从以上无穷小的比较里可以知道，如果lim—：c，就说b是a的n第二种解法运用了罗必塔法则，对分子分母分别求导，这样我们阶的无穷小，b~lan是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是l，且^可以得到上述式子的第二步，并且将0带入时，我们都知道cos0=l因n=l，即lim=1，则称a~lb是等价无穷小的关系，记作ab。U此，只需要一步就可以解出上述式子。4利

8、用等价思想进行代换通过对上面两道题的分析，我们可以得出结论，等价思想不适合所谓等价代换，主要是要使用一一些己知的等价量，对于复杂于加减法，而仅仅适用于乘除法之中。具体的运用方式，还需要大家式子中的某一乘除项进行代换，从而降低计算式的整体难度。例如以深刻的理解还有多方面掌握数学知识。下例题：6复杂的等价代换举例【例题1】lim!!面对一些在极限复杂的题型时(例