多元函数微分法及其应用(交).doc

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1、2012-2013第一学期本科高等数学教案授课院系授课专业授课班级授课教师兰州工业学院高等数学教案教师姓名授课班级授课时数2授课形式讲授所用教具授课日期所用教材《高等数学》（同济6版）参考书目教学手段板书□√多媒体□混合□授课章节名称第八章多元函数微分学第一节多元函数的基本概念教学目的要求1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义；2、理解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质，会求简单的二元函数的极限问题；3、通过与一元函数相应概念的比较，培养学生分析与解决问题的能力。教学重点1

2、、二元函数的概念；2、二元函数的极限与连续性。教学难点二元函数的极限问题更新补充内容教学提纲一、复习引入1.复习一元函数的有关概念，引入二元函数的概念。二、知识模块11.平面点集和n维空间2.多元函数概念三、知识模块21.多元函数的极限2.多元函数的连续性……………………………….四、课堂练习P62习题9-11、5、6课外作业P62、P63习题9-12、6、（2）（3）(5)7、（1）（2）课后体会与总结多元函数可看作一元函数的推广，因而多元函数的许多相关概念与一元函数的类似，在学习多元函数的一些概念时要

3、与一元函数的做比较，这样一方面可以复习一元函数的知识，另一方面可以让我们更容易学习多元函数的内容。授课主要内容一、复习引入（或背景介绍、体系介绍、历史演变介绍、专业应用介绍等）一元函数是只含有一个自变量的函数，但在实际问题中，经常会遇到一个因变量依赖于几个自变量的情形，这就引入多元函数的概念。二、平面点集和维空间1、平面点集的相关概念（1）平面点集：坐标平面上具有某种性质的点的集合,称为平面点集,记作（2）邻域：设是平面上的一个点，是某一正数。与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即或注：邻域的几何

4、意义：表示平面上以点为中心、为半径的圆的内部的点的全体。点的去心邻域，记作，即。（3）点与点集之间的关系：任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系中的一种：(a)内点:如果存在点的某一邻域,使得,则称为的内点；(b)外点：如果存在点P的某个邻域，使得，则称为的外点；(c)边界点：如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的边点。的边界点的全体，称为E的边界，记作¶E。注：E的内点必属于E,E的外点必定不属于E,而E的边界点可能属于E,也可能不属于E。（4）聚点：如果对于任意给定的d>0，点P

5、的去心邻域内总有中的点，则称P是E的聚点。由聚点的定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E，也可能不属于E。（5）开集：如果点集E的点都是内点，则称E为开集。（6）闭集：如果点集的余集Ec为开集，则称E为闭集。（7）连通性：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集。（8）区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域。（9）闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。（10）有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数，使得,其中是坐标原点，则称为有界点集。（1

6、1）无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集。2、维空间定义1：设为取定的一个自然数，元有序数组的全体，即称为维空间。称为维空间中的一个点，称为该点的第个坐标。当时，维空间分别是我们熟悉的数轴、平面及三维空间。维空间中两点与的距离规定为注：在维空间中定义了距离后，平面中邻域、区域及关于点集E的内点、边界点、聚点等概念均可类似地推广到维空间的点集上去。三、多元函数概念例1.圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系。这里，当在集合内取定一对值时，对应的值就随之确定。例2.一定量的理想气体的压强、体积

7、和绝对温度之间具有关系，其中为常数。这里，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定。定义2：设为平面上的一个非空点集。如果对于中每一点，按照法则，总有唯一确定的实数与之对应，则称是上的二元函数，记为，或，点集称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量。注：（1）在定义2中，中每一点对应的实数称为在点的函数值；数集称为该函数的值域；点集称为二元函数的图形。(2)关于二元函数的定义域，我们作如下约定:如果该函数采用解析式表示，而没明确指出定义域，则该函数的定义域理解为使这个解析式有意义的那些点所组成的点集,

8、这种点集也称为该函数的自然定义域。例3.求函数的定义域。定义3：设是维空间的非空子集。如果对于中每一点，按照某一法则总有唯一确定的实数与之对应，则称是定义在上的元函数。记作,，或,。点集称为函数的定义域,称为自变量，称为因变量。在定义中,中的点唯一确定的数称为在点的函数值。值域和元函数的图形也可类似地定义。四、多元函数的极限我们先讨论二元函数当，，即时的极限。这里表示点以任何方式趋于点，也就是点与点间的距离趋于零，即。与一元函