2014创新设计高中数学(苏教版)第六章 第4讲 等差数列、等比数列与数列求和

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1、第4讲　等差数列、等比数列与数列求和考点梳理(1)等差数列与等比数列的联系等差数列{an}中的加、减、乘、除运算与等比数列{an}中的乘、除、乘方、开方对应．(2)等差数列与等比数列的探求要判定一个数列是等差数列或等比数列，可用定义法或等差(比)中项法、而要说明一个数列不是等差数列或等比数列，只要说明某连续三项不成等差数列或等比数列即可．1．等差数列与等比数列(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和①等差数列的前n项和公式：2．数列求和的常用方法(2)倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等

2、或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．(4)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(5)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为

3、并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.一种转化思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．【助学·微博】答案－11考点自测解析由a4－a3＝a2q2－a2q＝2q2－2q＝4，解得q＝2(q＞1)．答案22．(2011·广东卷)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q

4、＝________.3．(2012·无锡市第一学期期末考试)设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝2am，则m＝________.答案8答案19答案7(2)是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．考向一　等差数列与等比数列的综合【例1】(2011·江西卷)(1)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数

5、列{an}唯一，求a的值；①×q2－②得a1(q1－q2)(q1－1)2＝0，由a1≠0得q1＝q2或q1＝1.(ⅰ)当q1＝q2时，由①②得b1＝a1或q1＝q2＝1，这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾．(ⅱ)当q1＝1时，由①②得b1＝0或q2＝1，这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾．综上所述，不存在两个等比数列{an}，{bn}使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列．[方法总结]对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差

6、、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足b1＝3，令bn＋1＝abn，设数列{bn}的前n项和为Tn，求数列{Tn－6n}中最小项的值．【训练1】(2012·苏州市自主学习调查)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，点(an，Sn)在曲线(x＋1)2＝4y上．(2)由已知得b1＝3，bn＋1＝2bn－1，则bn＋1－1＝2(bn－1)，所以{bn－1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn－1＝2·2n－1＝2n，即bn＝2n＋1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn

7、＝(21＋22＋…＋2n)＋n设An＝Tn－6n＝2n＋1－5n－2，则An＋1－An＝2n＋1－5，所以当n＝1时，有An＋1An.故最小项为A2＝23－10－2＝－4.即数列{Tn－6n}中最小项的值为－4.【例2】(2012·盐城调研二)在数列{an}中，a1＝1，且对任意的k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等比数列，其公比为qk.(1)若qk＝2(k∈N*)，求a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1；考向二等差数列与等比数列的判定或证明[方法总结]求数列通项或前n项和，首先考虑原数列是否是等差数列或等

8、比数列，可以通过定义或等差(比)中项作出判断或证明．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2