算术平方根的双重非负性的深度解析(发表于《初中数学教与学》).docx

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1、算术平方根的双重非负性的深度解析江苏海安紫石中学黄本华.算术平方根具有双重非负性。一是被开方数具有非负性，即。二是算术平方根本身具有非负性，即。算术平方根的双重非负性还有两个特征，一是兼容性，容易与其它知识点组合成有一定分值的综合题，而双重非负性往往是解题的切入点，更是解题的关键。二是隐含性，如果不仔细观察，认真分析，要么就无从下手要么造成多解或漏解。因此算术平方根的双重非负性是历年中考的热点。只有深度研究算术平方根的这两个非负性，我们解题时才能居高临下，游刃有余。一、确定字母的取值范围例1（中考题改编）已知实数ａ满足，求的值分析：如何去绝对值？如何去根号？如何确

2、定a的范围?分析的时候不断地给自己提一些小问题，就会逐渐地挖掘出此题的切入点！那就是——隐含条件：被开方数。【解答】，，，【评注】不要求去求字母的取值范围，而又必须求字母的取值范围，这就是被开方数为非负数的隐含性，挖掘出这个隐含性，就是解题的关键。【变式训练】化简。【提示】貌似与例题风马牛不相及，实质相同。二、确定最大值或最小值例2（2017宁波）当x取　　时，的值最小，最小值是　　；当x取　　时，2﹣的值最大，最大值是　　．【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x=0时，的值最小，当5﹣x=0时，2﹣的值最大．【解答】当10+2x=0时，的值最小，解得x=

3、﹣5，此时的最小值为0．当5﹣x=0时，即x=5时，=0，此时2﹣的值最大，最大值是2．【点评】熟练掌握算术平方根的非负性是解本题的关键．【变式】（2017宁都）设a，b是不小于3的实数，则+

4、2﹣

5、的最小值是　　【提示】分别求出和

6、2﹣

7、的最小值即可。三、求字母的值例3（2016扶沟县）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（m﹣2），求这个数．小张的解法如下：依题意可知，2m﹣6是m﹣2或者是﹣（m﹣2）两数中的一个…（1）当2m﹣6=m﹣2，解得m=4…（2）（2m﹣6）=（2×4﹣6）=2…（3）这个数为4当2m﹣6

8、=﹣（m﹣2）时，解得m=…（4）（2m﹣6）=（2×﹣6）=﹣…（5）这个数为综上可得，这个数为4或…（6）王老师看后说，小张的解法是错误的．你知道小张错在哪里吗？为什么？请予改正。【分析】小张的解法貌似很全面，错在哪里呢？仔细审题，发现2m﹣6是算术平方根。由算术平方根的非负性质可知2m﹣6≥0，因此要对求得的m的值作出取舍．【解答】∵2m﹣6是某数的算术平方根，∴2m﹣6≥0．解得：m≥3．当m=不符合题意应舍去．故答案为：这个数为4．【点评】本题若直接给出这个题目：一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（m﹣2），求这个数．很多同学就会因不注意算术平

9、方根的非负性而造成多解。【变式训练】（2016秋•资中县月考）一天，杨老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为m-6，它的平方根为，求这个数。例4如果y=+3，试求2x+y的值．【分析】观察到被开方数和互为相反数，而它们又必须都大于等于0，所以它们必须都为0。从而求出的值。【解答】由题意得，，解得，所以，，所以，．【评注】：如果一条题目中出现的两个被开方数互为相反数，则这两个被开方数数都为0。即若题目中同时出现和，则。【变式训练】已知a、b为实数，且+2=b+4，则ab=　　【提示】例5已知：=0，求：代数式的值．【分析】右边为0，左边分子是两个非负数

10、的和，所以这两个非负数都必须为0．同时必须注意分母的，既是被开方数，又在分母上，故，这样避免多解。【解答】解∴∴=2．【评注】根据几个非负数的和等于0，则每一个非负数都等于0是解决本题的关键．而被开方数的非负性，则可以避免避免多解。【变式训练】已知与

11、2x﹣3

12、互为相反数．求x+y的平方根．【提示】互为相反数两数相加得0例6(2016南通)已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，求的值．【分析】有边为0，而左边不是和的形式，怎么办？挖掘出隐含条件被开方数，可把等式变形为+（1﹣b）=0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，于是问

13、题迎刃而解．【解答】∵﹣（b﹣1）=0，∴+（1﹣b）=0，∵1﹣b≥0，∴1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，∴．【评注】本题需同时考虑算术平方根的双重非负数的性质。算术平方根具有非负性，非负数之和等于0则各项都等于0这两个性质是解题的关键，而被开方数的非负性则是解决此题的突破口。例7（原创）计算【分析】本题猛一瞅，无从下手。仔细观察，发现最后一项的被开方数是，这是一个非正数，而被开方数又必须是非负数，从而必有。从而迎刃而解。【解答】由题意得，又，∴原式=【评注】题目中出现时，应当敏锐地发现【变式训练】（中考题改编）化简四、比较大小例8（原创）比较与的

14、大小。【分