《131柱体、锥体、台体的表面积与体积》学案.doc

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1、《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》学案罗田一中高一数学组王建林提出问题在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1)长方体及其展开图(2)图1①棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？②如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？③联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？④圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

2、活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式，思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和。②让学生思考棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的形状，解决多面体的表面积问题。③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状，思考圆台的侧面展开图的形状，解决旋转体的表面积问题。④提示学生用动态的观点看待这个问题。讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和。因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积。②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角

3、形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和。③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得。其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）。如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl。因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)。圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）。如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它

4、的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l)。点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法。圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积图2图3等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l)。④圆柱、圆锥、圆台表面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体。圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的表面积，不难发现：2S圆柱表=2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)S圆锥表=πr(r+l)。图4从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的表面积公式

5、都可以看作由圆台表面积公式演变而来。提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②如何根据柱体的体积公式，得出锥体的体积公式？如何根据锥体的体积公式推导出台体的体积公式？③比较柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；V台体=h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高)。你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式。②让学生

6、思考等底等高的圆柱、圆锥的体积关系。③让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系。讨论结果：①棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高。②圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的。棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V=(S为底面面积，h为高)。由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面

7、积乘高的。由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S′++S)h,其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高。注意：不要求推导公式，也不要求记忆。③柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体。因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体。当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式。柱体和锥体可以看作由台体变化