2007年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷及试卷解析.doc

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1、2007年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷　一、选择题（共5小题，每小6分，满分30分）1．（6分）方程组的解的个数为（　　）A．1B．2C．3D．42．（6分）口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（　　）A．20B．18C．16D．143．（6分）已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（　　）A．

2、内心B．外心C．重心D．垂心4．（6分）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则的值为（　　）A．0B．1C．2D．35．（6分）方程x3+6x2+5x=y3﹣y+2的整数解（x，y）的个数是（　　）A．0B．1C．3D．无穷多　二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．（6分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面

3、积之差的绝对值是　　．第21页（共21页）7．（6分）如图，点A，C都在函数的图象上，点B，D都x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为　　．8．（6分）已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y=x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是　　．9．（6分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n•90°，则n=　　．10．（6分）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则=　　．　三、解答题（共8小题，满分60分）11．（15分）已知

4、点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线y=x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．第21页（共21页）12．（15分）已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．13．（15分）已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，

5、⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．14．（15分）（1）是否存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？（2）设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得m（m+k）=n（n+1）？15．已知抛物线y=﹣x2﹣3x+4和抛物线y=x2﹣3x﹣4相交于A，B两点．点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间．（1）求线段AB的长；（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．16．实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0

6、，abc=1．求最大的实数k，使得不等式

7、a+b

8、≥k

9、c

10、恒成立．17．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足第21页（共21页）．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证：（1）；（2）△PAB∽△PDC．18．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足1≤．　第21页（共21页）2007年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析　一、选择题（共5小题，每小6分，满分30分）1．（6分）方程组

11、的解的个数为（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】由于x、y的符号不确定，因此本题要分情况讨论．【解答】解：当x≥0，y≤0时，原方程组可化为：，解得；由于y≤0，所以此种情况不成立．当x≤0，y≥0时，原方程组可化为：，解得．当x≥0，y≥0时，，无解；当x≤0，y≤0时，，无解；因此原方程组的解为：．故选：A．【点评】在解含有绝对值的二元一次方程组时，要分类讨论，不可漏解．2．（6分）口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，

12、那么上述取法的种数是（　　）A．20B．18C．16D．14【分析】根据题意，则白球有7种取法：2、3、4、5、6、7、8；红球有4种取法：2、3、4、5，黑球有4种取法：0、1、2、3．然后根据所取球的总数为10，用枚举法，将所有可能的情况列举出来，然后再计算一共有多少种取法．【解答】解