典型例题及拔高训练(附答案).doc

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1、4.2 相交线和平行线 典型例题及强化训练课标要求①了解对顶角,知道对项角相等。②了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义。③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。④知道两直线平行同位角相等,进一步探索平行线的性质⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。⑥体会两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离。典型例题1.判定与性质例1判断题:1)不相交的两条直线叫做平行线。 ( )2)过一点有且只有一条直线与已知

2、直线平行。( )3)两直线平行,同旁内角相等。( )4)两条直线被第三条直线所截,同位角相等。( )答案:(1)错,应为“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”。(2)错,应为“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”。(3)错,应为“两直线平行,同旁内角互补”。(4)错,应为“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等”。例2已知:如图,AB∥CD,求证:∠B+∠D=∠BED。分析:可以考虑把∠BED变成两个角的和。如图5,过E点引一条直线EF∥AB,则有∠B=∠1,再设法证明∠D=∠2,需证EF∥CD,这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得

3、到。证明:过点E作EF∥AB,则∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)。∵AB∥CD(已知),又∵EF∥AB(已作),∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。∴∠D=∠2(两直线平行,内错角相等)。又∵∠BED=∠1+∠2,∴∠BED=∠B+∠D(等量代换)。变式1已知:如图6,AB∥CD,求证:∠BED=360°-(∠B+∠D)。分析:此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角,如果把∠BED看成是大于平角的角,可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此,我们模仿例1作辅助线,不难解决此题。证明:过点

4、E作EF∥AB,则∠B+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补)。∵AB∥CD(已知),又∵EF∥AB(已作),∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。∴∠D+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)。∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°(等式的性质)。又∵∠BED=∠1+∠2,∴∠B+∠D+∠BED=360°(等量代换)。∴∠BED==360°-(∠B+∠D)(等式的性质)。变式2已知:如图7,AB∥CD,求证:∠BED=∠D-∠B。分析:此题与例1的区别在于E点的位置不同,从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法,可

5、以解决此题。证明:过点E作EF∥AB,则∠FEB=∠B(两直线平行,内错角相等)。∵AB∥CD(已知),又∵EF∥AB(已作),∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。∴∠FED=∠D(两直线平行,内错角相等)。∵∠BED=∠FED-∠FEB,∴∠BED=∠D-∠B(等量代换)。变式3已知:如图8,AB∥CD,求证:∠BED=∠B-∠D。分析:此题与变式2类似,只是∠B、∠D的大小发生了变化。证明:过点E作EF∥AB,则∠1+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补)。∵AB∥CD(已知),又∵EF∥AB(已作),∴EF∥CD(平行于同一

6、直线的两条直线互相平行)。∴∠FED+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补)。∴∠1+∠2+∠D=180°。∴∠1+∠2+∠D-(∠1+∠B)=180°-180°(等式的性质)。∴∠2=∠B-∠D(等式的性质)。即∠BED=∠B-∠D。例3已知:如图9,AB∥CD,∠ABF=∠DCE。求证:∠BFE=∠FEC。证法一:过F点作FG∥AB,则∠ABF=∠1(两直线平行,内错角相等)。过E点作EH∥CD,则∠DCE=∠4(两直线平行,内错角相等)。∵FG∥AB(已作),AB∥CD(已知),∴FG∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。又∵EH∥

7、CD(已知),∴FG∥EH(平行于同一直线的两条直线互相平行)。∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)。∴∠1+∠2=∠3+∠4(等式的性质)即∠BFE=∠FEC。证法二:如图10,延长BF、DC相交于G点。∵AB∥CD(已知),∴∠1=∠ABF(两直线平行,内错角相等)。又∵∠ABF=∠DCE(已知),∴∠1=∠DCE(等量代换)。∴BG∥EC(同位角相等,两直线平行)。∴∠BFE=∠FEC(两直线平行,内错角相等)。如果延长CE、AB相交于H点(如图11),也可用同样的方法证明(过程略)。证法三:(如图12)连结BC。∵AB∥CD(已知),∴∠

8、ABC=∠BCD(两直线平行,内错角相等)。又∵∠ABF=∠DCE(已知),∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE(等式

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