再探勾股定理的定理.doc

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1、再探勾股定理的证明房县实验中学张兴筑勾股定理是中学阶段一个非常重要的定理，有关它的证明方法很多，一般都采用拼图或割补的方法，笔者在教学过程中探索出勾股定理另外几种证明方法，现在把这些方法展现给读者，不妥之处，敬请各位老师和专家指正。方法一：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点(点E不与点B、C重合)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，设AB=a，BE=b，AE=c，求证：。证明：如图1，连接AF，过点F作FG⊥BC，垂足为点G．设GF=，则CG=，EG=a－b＋．∵，∴．∴．∴EG=a．∴．∴EF=AE=c．∵，，∴．∴．方法二：如

2、图2，四边形ABCD是正方形，点E是,直线BC上的任意一点(点E不与点B、C重合)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F，设AB=a，BE=b，AE=c，求证：。证明：如图2，连接AF交BC于点H，过点F作FG⊥BC，垂足为点G．设GF=，则CG=，EG=a＋b－．∵，∴．∴．∴EG=a，GF=CG=b．再设GH=，则BH=．∵，∴．∴．∵，，∴．化简，得．方法三：如图3，把“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，四边形ABCD是矩形，点E是边BC上的任意一点(点E不与点B、C重合)，∠AEF=90°，且EF交矩形外角的平分线CF于点F，设AB=

3、a，BE=b，AE=c，AD=m()，求证：。证明：如图3，连接AF，过点F作FG⊥BC，垂足为点G．设GF=，则CG=，EG=m－b＋．∵，∴．∴．∵,∴．∵，，∴．化简，得．值得讨论的定理与概念判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。位似图形的概念：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心。以上是人教版九年级数学第二十七章《相似》一章中第42页的判定三角形相似的定理和第59—60页的位似图形的概念。笔者认为这个定理和概念叙述的不够全面、准确，值得讨论。

4、1.对定理的讨论。定理中“平行于三角形一边的直线和其他两边相交”叙述的不够全面。很明显，定理叙述的只是图1所示的情形。在图2、图3中，当DE∥BC时，直线DE与△ABC中的其它两边的延长线相交，则△ADE∽△ABC。建议教材在处理这个定理时，除了对图1的探究外，再设计一个思考题：如图2、图3，已知直线DE∥BC，并且DE交△ABC的其它两边的延长线分别于点D、E，则△ADE与△ABC相似吗？为什么？综合以上几种情况就能得到一个准确的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。2.对概念的讨论。概念中的“对应边互相平行叙述”的不准确

5、。如图4，已知，四边形ABCD∽四边形EFGH，点E、F都在边AB上，点O在边AB(或EF)上，并且对应点C、G的连线和对应点D、H的连线都经过点O，则四边形ABCD和四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心。如图5，已知，五边形ABCDE∽五边形FGHMN，对应边AB与FG、DC与MH分别在同一条直线上，并且这两条直线相交于点O，对应点E、N的连线也经过点O，则五边形ABCDE和五边形FGHMN是位似图形，点O是位似中心。在图4中，位似中心在图形上，在图5中，位似中心在图形某一边的延长线上，有些对应边互相平行，有些对应边不互相平行，而是在同一条直线上。教材中位似图形的概念

6、是在没有考虑以上两种情形的情况下总结出来的，这样得到的概念显然是不够准确的。建议教材在处理这个概念时，同样可以采用处理前面定理所使用的方法，再设计一组变式图形(如图4和图5)，让学生进行观察和思考。在综合考虑多种情况的基础上，总结出位似图形的概念：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，像这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心。数学教材不仅是学习的依据，而且要为学习数学知识提供很好的范例。如果学生对数学概念和定理不能正确、全面地理解，那么一旦遇到变式题或变式图形就会不知所措，更谈不上应用数学知识解决问题。表述尚需严谨在人教版九年级

7、数学“圆”一章中，关于弧、弦、圆心角之间的关系有这样一个定理：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。笔者认为这个定理表述的不够严谨，应该进行修改。因为弧有劣弧和优弧之分，一条不经过圆心的弦所对的弧可以是劣弧，也可以是优弧，所以在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的弧不一定相等。如图，⊙与⊙是等圆，AB、DE分别是⊙和⊙的两条弦，且AB=DE，在⊙中弦AB所对的劣弧是，在⊙中弦DE所对的优弧是，很明显≠。但是，在同圆或等圆中：AB=DE=(所对的劣弧相等)；AB=DE=(所