再探初中数学勾股定理

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1、再探初中数学勾股定理再探初中数学勾股定理题目等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？图1中，每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C,A',,C'的面积，看看能得出什么结论.（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的而积减去4个直角三角形的面积・）探究勾股定理的发现S正方形A二22二4,S正方形B二32二9,S正方形C=52-12X2X3X4=25-12=13,所以S正方形A+S正方形B=S正方形C.S正方形A'=32=9,S正方形B'=52=25,S正方形C'=82-12X3X5X4=64-30=34,所以

2、S正方形A'+S正方形B'二S正方形C'.由于正方形A,B（或A，,B，）的面积分别等于直角三角形的两直角边的平方，正方形C（或L）的面积等于直角三角形的斜边的平方，于是我们得出：勾股定理直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.反思1为什么直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方？探究勾股定理的证明在计算正方形C（或u）的面积时，我们发现：正方形C（或U）的面积等于大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，由此我们受到启发•如图2,若设直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,根据大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个直角三角形的面积

3、，得（a+b）2=c2+12abX4,整理，得a2+b2二c2.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.说明上述证明勾股定理的方法用到的图形，叫做“赵爽弦图”・运用“赵爽弦图”证明勾股定理，简捷巧妙•为了开阔同学们的视野,下面再介绍一种利用全等三角形和面积的证明方法.如图2,以RtAABC的两直角边AC,BC向外作止方形ACGF和止方形BCLK,以RtAABC的斜边向外作正方形ABED,过点C作CIIDE,垂足为I,CI交AB于点H,则四边形ADIH和HIEB都是矩形.由AF二AC,AB二AD,ZFAC+ZCAB=ZDAB+ZCAB,即ZFA

4、B=ZCAD,得厶FABACAD,所以SAFAB^SACAD.而S正方形ACGF二2SAFAB,S矩形ADIII-2SACAD,所以S正方形ACGF二S矩形ADIH.同理S正方形BCLK二S矩形IIIEB.所以S止方形ACGF+S止方形BCLK二S矩形ADIH+S矩形HIEB,即S正方形ACGF+S正方形BCLK=S正方形ABED.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.探究勾股定理的拓展由探究勾股定理的发现过程，我们不难得出：拓展1以直角三角形的两直角边为边长的止方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.反思2如果分别以立角三角形的各边为

5、斜边作等腰直角三角形,那么以两直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积吗？探究设直角三角形的两直角边分别为mb,斜边为c,那么以a为斜边的等腰直角三角形的面积等于12a・12a-14a2,以b为斜边的等腰直角三角形的面积等于12b・12b二14b2,以c为斜边的等腰直角三角形的面积等于12c・12c二14c2,因为a2+b2二c2,所以14a2+14b2=14c2・于是我们得出：拓展2分别以宜角三角形的各边为斜边作等腰直角三角形，那么以两直角边为斜边的等腰直角-:角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积.说

6、明如果能够注意到等腰直角二角形正好是以它的斜边为一边的正方形的四分运用拓展1的结论很容易得到拓展2・下面请同学们运用拓展2的结论解决：问题1已知：以RtAABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形•若斜边AB=3,则三个等腰直角三角形的面积和为.提示：如果对等腰直角三角形的面积公式（用等腰直角三角形的斜边表示）不熟悉，可先将每个等腰直角三角形补成正方形，这样所求的面积就等于两个等腰RtAABE的面积，而两个等腰RtAABE的面积正好等于以AB为一边的正方形的面积的一半，从而所求部分的面积=12X32=4.5.反思3如果分别以直角三角形的各边为边向外作

7、等边三角形，那么以两直角边为边的等边三角形的面积和等于以斜边为边的等边三角形的面积吗？问题2已知在RtAABC中，ZACB^RtZ,AB二4,分别以AC,BC为直径作半圆，面积分别记为SI,S2,则S1+S2的值等于.