王丹的一题多解例谈轨迹方程常用的基本方法.doc

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1、一题多解:求轨迹方程常用的基本方法例:由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦的中点的轨迹方程。分析1（直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。解法1如图4－2－3，设弦的中点的坐标为，连接，则，在中，由两点间的距离公式和勾股定理有整理，得其中图4－2－3PMBAOyx分析2（定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。解法2因为是的中点，所以，所以点的轨迹是以为直

2、径的圆，圆心为,半径为该圆的方程为：化简，得其中分析3（交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点可看作直线与割线的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。解法3设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为：.且过原点，的方程为这两条直线的交点就是点的轨迹。两方程相乘消去化简，得：其中分析4（参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点随直线的斜率变化而发生变化，所以动点的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。解法4设过点的割线方程为：它与圆的两个交点为，的中点为.解方程组利用

3、韦达定理和中点坐标公式，可求得点的轨迹方程为：其中分析5（代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点的坐标与两交点通过中点公式联系起来，又点构成4点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。解法5设则两式相减，整理，得所以即为的斜率，而对斜率又可表示为化简并整理，得其中简评上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点且与二次曲线交于两点，求中点的轨迹问题。具有普遍意义，

4、值得重视。对于解法5通常利用可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。