添加辅助线证明三角形全等.doc

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1、添加辅助线证明三角形全等一．内容概要：DECAB常见的辅助线有：DAECB①题中有三角形中线的条件时，常作如下辅助线：如下图，△ABC中，BD=DC，延长AD到E，使DE=AD，连结CD或BE。则有结论△CDE≌△BDA或△BDE≌△CDA②题中有三角形角平分线的条件时，常作如下辅助线：如图(1)，∠1=∠2，AB>AC，则在AB上截取AE=AC，连结DE，必有结论△ADE≌△ADC.如图(2)，若延长AC到E，使AE=AB，连结DE，必有结论△ADE≌△ADB.如图(3)，若作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，必有结论DE=DF.21EDCBA12EDCBAF21ED

2、CBA二．例题详解1．通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等例1．已知：如图AB=AD，CB=CD，　　(1)求证：∠B=∠D．　　(2)若AE=AF　　试猜想CE与CF的大小关系并证明．证明：(1)方法1:连结AC∵AB=AD，CB=CD，AC=AC∴△ABC≌△ADC∴∠B=∠D　　　方法2:连接BD∵AB=AD∴∠ABD=∠ADB∵CB=CD∴∠CBD=∠CDB∴∠ABD-∠CBD=∠ADB-∠CDB∴∠B=∠D　　　(2)由(1)得∠B=∠D∵AB=AD,AE=AF∴AB-AE=AD-AF∴BE=DF∵CB=CD∴△BCE≌△CDF∴CE=CF【解

3、析】（1）本题中要证明∠B=∠D．在已知条件中缺少明显全等的三角形。而连结AC以后，AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看到三角形ABC全等于三角形ADC，进而证明了∠B=∠D。在学习了等腰三角形的知识以后还可以连结BD，通过等边对等角，再用角等量减等量得到∠B=∠D更为简单。（2）猜想CE=CF，在连结AC证明了三角形ABC全等于三角形ADC以后，得到∠EAC=∠FAC，再去证明三角形EAC全等于三角形FAC，进而证明CE=CF。我们在证明角相等时，可以证明全等三角形，也可以证明等边对等角。例2．已知：如图AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C．证明：连结BD∵

4、AB=CD，AD=BC，BD=BD∴△ABD≌△CDB∴∠A=∠C【解析】根据已知条件AB=CD，AD=BC，连结公共边BD(AC)，可以发现三角形ABD全等于三角形CBD(可以发现三角形ABC全等于三角形ADC)，在这里我们发现添加辅助线的方法非常类似。所以我们以后在证明角相等时，先找角所在的三角形，若果没有可以通过做辅助线来找出三角形全等。2．通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。例3.如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF。法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明△ADC和△

5、HDB全等，得AC=BH。　　　　　通过证明∠H=∠BFH，得到BF=BH。　　证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH　　　　　∵D为BC中点　　　　　∴BD=DC　　　　　在△ADC和△HDB中　　　　　　　　　　∴△ADC≌△HDB(SAS)　　　　　∴AC=BH,∠H=∠HAC　　　　　∵EA=EF　　　　　∴∠HAE=∠AFE　　　　　又∵∠BFH=∠AFE　　　　　∴BH=BF　　　　　∴BF=AC法二：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。证明△CDH和△BDF全等。　　证明：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。　　　　　∵D为BC中点　　　　

6、　∴BD=CD　　　　　在△BFD和△CHD中　　　　　　　　　　∴△BFD≌△CHD(SAS)　　　　　∴∠H=∠BFH　　　　　∵AE=FE　　　　　∴∠HAC=∠AFE　　　　　又∵∠AFE=∠BFH　　　　　∴∠H=∠HAC　　　　　∴CH=CA　　　　　∴BF=AC【解析】欲证AC=BF，只须证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形图形，而根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对

7、的角相等即可。我们在证明线段相等时，如果三角形中存在中线，我们可以延长中线，使之等于中线的2倍，即可得到全等三角形。例4.已知：如图，在DABC中，D是BC的中点，E、F分别在AC、AB边上，∠EDF=90°。求证：证明：延长FD到G，使DG=FD，连结EG、CG。∵D是BC的中点∴BD＝CD∵GD＝FD，∠BDF＝∠CDG∴△BDF≌△CDG（SAS）∴BF＝CG又∵∠EDF=90o，GD＝FD∴DE垂直平分FG∴EF＝EG∵在△CEG中：CE+CG>EG∴BE+CF>EF【解析】从要证的结论来看，它们没构成一个三角形，不能利用我们学习过的三角形三