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1、求二面角的基本方法——定义法与法向量法一、在所给立体图形中直接寻找：看是否有二面角的平面角；寻找平面角的主要依据是根据二面角的平面角的主要特征——顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内且都与棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。例1如图1,在三棱锥S—ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.解析由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面B
2、DE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30.又DE⊥SC,所以∠EDC＝60°即所求的二面角等于60°.二．根据定义作出平面角：主要有两种作法，一是对于具有某种对称性立体图形，可以考虑利用定义，在棱上选择一点作棱的垂面，与两个半平面的交线所构成的角即为平面角；二是在其中一个
3、半平面内选择一点向另一个半平面引垂线（垂足为），过向棱引垂线（垂足为），由三垂线定理可知，则即为平面角（或其补角）。例2如图2，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、．将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M．求：二面角4的大小。解析连接AM，A1G，∵G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，∴A，G，M三点共线，AM⊥BC(图3)．∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥AM于G，即GM⊥B1C1，GA1⊥B1C1，∴∠A1GM是二面角A1—B1C1—M的平面角．∵点A1在平面BB1C1C上的射影
4、为M，∴A1M⊥MG，∠A1MG=90°。在Rt△A1GM中，由A1G=AG=2GM得∠A1GM=60°，即二面角A1—B1C1—M的大小是60°。对于“无棱”二面角（即棱未明显给出）的常规求法是：先找（或作）出棱，再找（或作）出平面角后求解，还可考虑使用射影面积公式，这里给出下述两例：例3如图4，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD，SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝．求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．解析延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱。∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ，∴ＥＡ＝Ａ
5、Ｂ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ，∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，∴CS⊥ＳＥ，所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角。∵ＳＢ＝，∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝，即所求二面角的正切值为。例4如图5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数. 解析本题考虑常规解法可作出棱后找平面角（为4，解略），这里使用公式：在底面上的射影为，设AA1=A1B1=a，易算得于是=三、法向量法求二面角是
6、近些年来高考经常考查的内容,要求考生能尽快分析出空间线面关系,准确作出二面角的平面角;未给出二面角棱的，要先作出棱,后找平面角再计算,这些都需要很强的空间想象能力与灵活转化能力,一般考生难以完成;而应用法向量来解决,只需求两半平面法向量的夹角,用公式即可.这样,避免了空间线线、线面、面面关系的抽象分析，从而使考生从复杂抽象的思考中解放出来，提高解题效率.如对上述例3：建系如图4,,平面的法向量。，。设为面的法向量，则，得，取，则故二面角为，其正切值是。44
