数学建模习题-影-院-座-位-设-计.doc

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1、数学建模习题影院座位设计摘要本文研究了电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角与仰角这一前提条件，建立了满意程度最大的相关模型，并进行求解。问题一，首先建立在满足仰角条件情况下的优化模型，接着通过主观臆断分别对视角和仰角赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后运用软件求解出当地板线的倾角为时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635米。问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平均值模型，再利用软件解得当地板线的倾角为时，所有观众的平均满意程度最大。问题三，在问题二的基础上，为

2、进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以变化，增加到后保持不变，第一排抬高米。本文所建立的模型通俗易懂，求解简单明了，对模型进行验证发现与现实生活中的实际情况十分吻合，因此具有很强的实用性和推广意义。关键词：离散加权平均满意度优化模型14一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角不超过；记影院的屏幕高为，上边缘距离地面高为,影

3、院的地板线通常与水平线有一个倾角，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为，观众的平均座高为（指眼睛到地面的距离），已知参数=1.8.=5，，=1.1(单位m)。求解以下问题：(1)地板线的倾角时，求最佳座位的所在位置。(2)地板线的倾角一般超过，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。(3)地板线设计成什么形状，可以进一步提高观众的满意程度。二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角，越大越好，而越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合

4、满意程度达到最大。本文通过对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；针对问题三，即在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问

5、题，文中将作以下假设。三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。14四、符号说明水平视角视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离仰角观众对水平视角为的满意程度地板线与水平线的倾角观众对仰角为的满意程度第一排离屏幕水平距离平均满意程度最后一排离屏幕水平距离视角、仰角在综合满意度中的权重

6、屏幕的高度相邻两排座位间沿地板线方向的间距屏幕上边缘离地面的高度五、模型的建立与求解5.1问题一每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过。5.1.1模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角A以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：BOMNP屏幕地面地板视觉线图1影院座位设计的剖面图xy其中，为屏幕，为地板线，为所有的

7、观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线上任意一点的坐标为，屏幕上下点的坐标分别为，14，的斜率记为,的斜率记为。由斜率公式得：，(1.1)则直线和的斜率与夹角满足如下关系：(1.2)仰角满足条件：所以：(1.3)由公式(1.1)(1.2)得到模型为：5.1.2模型Ⅰ的求解当时，用软件运算求解（程序见附录1），得最大视角为，仰角为，米。即点的坐标为为最佳位置。离屏幕的水平距离为。5.1.3模型Ⅱ的建立：离散加权模型在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为（查阅相关资料间距一般取0.8米），则在水平方向的间距为，考虑仰角和视

8、角对观众的满意度为主要因素。对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：(2.1)(2.2)其中，，