常微分方程习题课.doc

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1、第七章常微分方程重点微分方程的基本概念，可分离变量方程，一阶线性方程，二阶线性微分方程的解法．难点由实际问题建立微分方程．一阶微分方程一、基本要求1．了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．能正确识别下列几种一阶微分方程：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、贝努利方程；可降阶的高阶微分方程．3．熟练掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解法．4．会解齐次方程和贝努利方程，并从中领会用变换代换求解方程的思想．5．熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法．6．对简单的实际问题能建立一阶微分方程从而求解．二、要点1．关于常微分方程的基本概念（略）2．一阶微分方程的解法(1)　可分

2、离变量的一阶微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程．将上式两边同时积分即可求得通解．即．其中、在所考察的范围内是连续函数．若给定了初始条件，则可求得方程的特解．(2)　齐次微分方程形如的方程，称为齐次微分方程．令，则，从而有，原方程化为可分离变量的方程：，从而两边积分求得通解．(3)　一阶线性微分方程形如的方程，称为一阶线性微分方程．分两步求解①求对应的齐次方程的通解将分离变量得，从而通解为．②用常数变易法求非齐次方程的通解设，代入原方程求得，所以为方程的通解．注意　在具体解题时，可直接代上述公式求一阶线性微分方程的通解．若一阶线性微分方程的标准型，则其通解．(4)　贝努

3、利方程　形如的方程，称为贝努利方程．两边同除以，令，则原方程化为，这是关于的一阶线性方程，代入公式求通解即可．(5)　可降阶的高阶微分方程①型的微分方程对两边积分，有，，……依次进行次积分即得通解．②型的微分方程方程的特点是右端不显含，令，则，于是原方程化为，是关于的一阶方程，若其解为，即，积分求解即可．③型的微分方程方程的特点是右端不显含自变量，令，则，于是原方程化为，是关于的一阶方程，若其解为，即，再积分求解即可．二阶线性微分方程一、基本要求1．正确识别二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程．2．熟练掌握二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法．3．熟练掌握二阶常系数非齐次微分

4、方程解的结构，掌握非齐次方程当自由项为两种特殊情形时通解的解法．4．会解决简单二阶方程的应用问题．二、要点关于二阶常系数线性微分方程的解法：1．线性齐次方程的通解解法　先解特征方程的根．设特征根为，分以下三种情况：（1）当时，特征方程有两个相异的实根，则方程的通解为．（1）当时，特征方程有重根，则方程的通解为．（2）当时，特征方程有一对共轭的复根，则方程的通解为　　　　　　　．定理若为齐次方程的两个解，则亦是齐次方程的解，其中是任意常数．又若为线性无关时，则是齐次方程的通解．2．线性非齐次方程的通解定理设是非齐次线性方程的一个特解，而是相应的线性齐次方程的通解，则其和为线性非齐

5、次方程的通解．具体解法：（1）先求的特解，由下表通过待定系数法可得自由项右端项与特征根特解形式，其中为n次多项式λ不是特征方程的根λ是特征方程的单根λ是特征方程的重根或不是特征方程的根是特征方程的根其中均为次多项式．（2）再求对应线性齐次方程的通解，根据定理相加即可三、典型例题（一）解各类一阶微分方程1．判别下列微分方程的类型，并分别求出其通解或特解．（1）　　（2）（3）的特解　　（4）解　（１）原方程化为　　　　　，令，得，此为一阶线性方程．按公式求得其通解为，于是原方程的通解为．（2）原方程为，即，它属于贝努利方程．令，则可化为线性方程，其通解为于是原方程的通解为．（3）

6、原方程为，它不属于一阶微分方程的四种类型，可将作自变量，作为函数，于是方程改写成，此为的一阶线性方程，其通解为代入初始条件，得，故所求特解为．（4）原方程整理得，是齐次方程．令，则，分离变量，积分得　　　　　　　　　　　　．所以原方程的通解为．２．2．求下列各微分方程的通解（1）；　　（2）．解（1）原方程属于类型．令，则，原方程可化为，此为的一阶线性方程，其通解为，所以　　　　　　　　　　，分离变量后得　　　　　　，两边积分，得原方程的通解为．（2）原方程为属于类型．令，则，代入原方程得，当时，得，即为原方程的解；当时，得　　　　　　　，分离变量　　　　　　　　　，两边积分　

7、　　　　　　　，即　　　　　　　　　　　　，从而　　　　　　　　　　，分离变量，再两边积分后，得原方程通解为．3.求方程为常数）的解．解　变量代换，可将原方程化为可分离变量方程．令，则，故原方程化为，即，两边积分得　　　　　　，于是方程所求通解为　　．4．求微分方程的通解．解将方程改写为，为贝努利方程（），以乘方程两端，得，令，则，由一阶线性微分方程的公式法，解得，将代回，得原方程的通解为．5．求的通解．解交换地位，得，或　　　　　　　　　　　　　　，此为的贝努利方程．令，则上式可化为，此为