!!常微分方程习题课

《!!常微分方程习题课》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、常微分方程1微分方程的基本概念一.选择题1.微分方程的阶数是指（B）（A）方程中未知函数的最高阶数；（B）方程中未知函导数或微分的最高阶数（C）方程中未知函数的最高次数；（D）方程中函数的次数.2.下面函数(C)可以看作某个二阶微分方程的通解.（A）（B）（C）（D）二.证明是方程的通解.证，，即满足方程。又含有两个独立常数，所以是的通解。三.求曲线簇满足的微分方程.解在两边对求导得。上式两边再对求导得，，即为所求的微分方程。2微分方程几种解法（1）分离变量法：例1.解原方程可化为，两边积分得，即。由得，故即为所求。例2.解当时，原方程可

2、化为，令，得，原方程化为，解之得；当时，原方程可化为，类似地可解得。综合上述，有。例3..解原式可化为，令，得，即,两边积分得，即，，由得，故所求特解为。（2）一阶线性微分方程解法（可直接套公式）：例3.解由公式得。例4..解原方程可化为，视为自变量，为的函数，则为一阶线性方程。由常数变易公式得，由得。所以所求特解为（3）降阶法：例5．（边解方程边定常数）解，由，得，即，再积分得，由，得，故所求特解为。例6．解令得，，当时，有，两边积分得，即，例7．求的通解;解令，代入原方程得，即，积分得，，得通解为。（4）齐次常系数高阶线性微分方程：一

3、.解的结构：1.设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数，则该方程的通解为.2.若和是的两个特解，则为该方程通解的条件是.3.若和是的任意两个解，则必须是方程的解.二．特征方程法：基本思想：特征方程重根按重数计，一个特征根可写出相应的一个特解，而且这些特解彼此之间线性无关。1.满足解特征方程为，，故通解为，由得，故为所求特解。2.满足解特征方程为，，故通解为，由得，故为所求特解。