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时间:2019-09-12
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1、常微分方程1微分方程的基本概念一.选择题1.微分方程的阶数是指(B)(A)方程中未知函数的最高阶数;(B)方程中未知函导数或微分的最高阶数(C)方程中未知函数的最高次数;(D)方程中函数的次数.2.下面函数(C)可以看作某个二阶微分方程的通解.(A)(B)(C)(D)二.证明是方程的通解.证,,即满足方程。又含有两个独立常数,所以是的通解。三.求曲线簇满足的微分方程.解在两边对求导得。上式两边再对求导得,,即为所求的微分方程。2微分方程几种解法(1)分离变量法:例1.解原方程可化为,两边积分得,即。由得,故即为所求。例2.解当时,原方程可
2、化为,令,得,原方程化为,解之得;当时,原方程可化为,类似地可解得。综合上述,有。例3..解原式可化为,令,得,即,两边积分得,即,,由得,故所求特解为。(2)一阶线性微分方程解法(可直接套公式):例3.解由公式得。例4..解原方程可化为,视为自变量,为的函数,则为一阶线性方程。由常数变易公式得,由得。所以所求特解为(3)降阶法:例5.(边解方程边定常数)解,由,得,即,再积分得,由,得,故所求特解为。例6.解令得,,当时,有,两边积分得,即,例7.求的通解;解令,代入原方程得,即,积分得,,得通解为。(4)齐次常系数高阶线性微分方程:一
3、.解的结构:1.设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意常数,则该方程的通解为.2.若和是的两个特解,则为该方程通解的条件是.3.若和是的任意两个解,则必须是方程的解.二.特征方程法:基本思想:特征方程重根按重数计,一个特征根可写出相应的一个特解,而且这些特解彼此之间线性无关。1.满足解特征方程为,,故通解为,由得,故为所求特解。2.满足解特征方程为,,故通解为,由得,故为所求特解。
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