常微分方程习题课

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1、321:、求方程xy"=(y−xy')满足yy(1)==0,'(1)3的解.解令:'yx−=yu,u'=y'−y'−xy",可得:"xy=−u',代入方程化为:2211−xu',=⇒u=C−,1ux11⇒=C−。1yx−y'x2由初始条件得:,C=方程化为:133xyx−=y',得:23x−13yy',−=(x≠0)x32−xx由公式解得:[yx=+Cln]，232−x由yC(1)=0得:=0,2x所以解为:lyx=n.32−x2、某学生忘记了求导法则,错误的认为[f(x)g(x)]'=f(x)'⋅g(x)',x21但侥幸碰对了答案,已知f(x

2、)=e,

3、2x1

4、.13:、求满足方程(∫∫f(x)dx)(dx)=−1fx()的所有函数f()x.解:(令uf==∫x)dx,u'f(x),代入方程得:111ud∫∫x=−=1,即:dx−,uu''u1122求导得:'==uu,即:(')u,2uu'±xuu',=±u=Ce，±±xx即Ce==∫fx()dx，求导得：fx()Ce。4、长为l的均匀链条放在一水平无摩擦

5、的桌面上,链条在桌边悬挂下来的长度为b,求由重力使链条全部滑落桌面所需的时间.解：设时刻t时链条在桌边下垂的部分的长度为xx=()t,并记链条的线密度为u,则有:2dxul=uxg,2dtxb(0)=,x'(0)=0。ggbtt−解得:xe=+lle,222ll+−lb当时xl==,ltn。gb5:、求方程yy"+=+xcosx的通解.解::对应的齐次方程的通解为Cxcos+Csinx.12设y":+=yx的特解为y=Ax+B,1代入方程得:1A=,0By=⇒.=x.1设方程yy"c+=osx的特解为:y=+Excos

6、xDxsinx,21代入方程得:0ED=,=.21通解为:cy=+CxosCsinx+x+sinx。1226、求方程的通解x"cyxos−2y'sinx+=3ycosxe。解:c令uy=osx,对x求导得:uy''=−cosxysinx,uy"=−"cosx2y'sinx−ycosx.x方程化为:"uu+4=e。通解为:1xuC=+cos2xCsin2x+e,即125cos2x1xyC=+2sCinx+e。12cosxx5cosxx2x−x7:、已知yx=e+=e,yxe+e,12xx2−xyx=+ee−e,为某二阶线性3非齐次微分方程的三个解

7、,.求此方程2x−x解法1:由解的结构定理知e,e是相应的齐次x方程的两个线性无关的解,xe是非齐次方程的一个特解,设此方程为:y"'−−yy2=f(x).xxx将y==xe代入上式,:得f(x)e−2xe.xx所以方程为:"y−yy'−=2e−2xe。2x−x解法2:由解的结构定理知e,e是相应的齐次x方程的两个线性无关的解,xe是非齐次方程的一个特解,所以xxx−y=+xeCe+Ce12为所求非齐次方程的通解,:从而有xxx2−xye'2=+xe+Ce−Ce,12xxx2−xye"2=++xe4Ce+Ce,12xx消去CC,得方程：yy"'

8、−−=2ye−2xe。128.从海上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,须测定一起下沉深度y与下沉速度v之间的关系.设仪器在重力作用下由海平面开始钳直下沉,受到浮力和重力的作用.设仪器的质量为m体积为B,海水的比重为ρ,一起所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0),试建立y与v满足的微分方程,并求解出函数关系式………..(98.数一,6分)解解::取开始下沉点为原点取开始下沉点为原点O,O,竖直向下为正方向竖直向下为正方向,,得方程得方程::2dym=mg−Bρ−kv,2dt2dydv将=vt代入消去,:得v与y之间的微分方程2dtd

9、ydvmv=−−mgBρkv.dymv分离变量:,dy=dv积分得:mg−−Bρkvmm()mg−Bρyv=−−ln(mg−Bρ−kv)+C.2kk由初始条件v=0,得y=0mg−BρCm=−ln(gBρ),2k所以所求的函数式为:mm()mg−Bmρg−−Bkρvyv=−−ln()。2kkmg−Bρ9.设函数y(x),(x≥0)二阶可导,y'(x)>0,y(0)=1,过曲线上任意一点P(x,y),作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积为S,设2S-S恒为1,求

10、曲线的方程.212y(99.数1,6分)P(,xy)QOx解:(曲线yy=x)上点P(x,y)处的切线为:Yy−=y'(x)(X−x).y它与xx轴的