有限域的探讨.doc

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1、有限域的探讨2015214085李坚在学习了近世代数这门56个学时的课程之后，给我的感觉更多是这门课的抽象性以及晦涩难懂。从一开始群的学习到环最后在到域。在代数中的运算也从乘法进阶到了加法和乘法。虽然近世代数中的一些结论看着非常的简洁，也很直观，尤其在面对新的结论的时候，大致上一眼看上去都是很显然的结论，但是细细深究下去，我发现我所认为的显然是藏于数学的严谨的逻辑推导以及细化的证明之下。有句话说的特别好：“为学犹掘井，井愈深土愈难出，若不决心到底，岂能见泉源乎。”我在学习的时候，这句话一直深深的激励着我。在近世代数的学习过程中，我觉的域的性质可以说

2、是最强的，因为前面的学习做了许多的铺垫工作，最后就是为了引出域的概念。因此我通过查阅关于有限域的论文以及资料之后，我想聊聊我对域的心得以及认识和体会。在书本上的定义中：如果R是一个交换环，并且对每一个元素a≠0，它都包含一个逆元a-1,满足方程a-1a=1，那么称R为域。显然这个定义可以看成由可逆元素构成的交换环即为域。但是我在翻阅资料之后我感觉下面的条件用来描述域或与更为清晰。如果一个集合R，具有加法和乘法两种运算并且满足下列的条件，则称为域：①对R的任意三个元a,b,c，都有a+(b+c)=(a+b)+c。（加法的可加性）②对R的任意三个元a,

3、b,c，都有a(bc)=(ab)c。（乘法的可结合性）③对R的任意三个元a,b,c，都有a(b+c)=ab+ac或(b+c)a=ba+ca。（乘法对加法的可分配）④对R的任意两个元a,b，都有a+b=b+a。（加法的可交换性）⑤对R的任意两个元a,b，都有ab=ba。（乘法法的可交换性）⑥加法中存在零元，记为0，使得对R的任一个元a，有a+0=a。⑦乘法中存在一个单位元e，使得对R的任一元a，都有ea=a=ae。⑧R中的每一个元a存在加法逆元，通常用-a表示，使得a+(-a)=0=(-a)+a。⑨R中的每一个元a存在乘法逆元，通常用a-1表示，使得

4、a-1a=e=a-1a通过上面所定义的九条运算法则，可以很清楚的看出在域中，虽然乘法和加法也许可以说是两种运算之间互有交集但却又相互平行的。比如可分配性就是把两种运算相互结合。但是乘法和加法在各自的运算法则中却又构成了自己的群。因此我更加深深的感觉到由两个不同的群的运算加上分配律就构成了域。在线性空间中，加法加上数乘就构成了一个完整的线性空间。在域上，两个不同的群的运算就构成了域，这两者之间是否是有着关联呢，这不禁让我产生了联想，是否很多事物的运算只要由两种运算就可以解释的清楚呢，我在学习之余不禁产生了困惑。我想在我不断的学习之下，也许有一天能够解

5、决我关于这方面的困惑。随后我又查阅了关于有限域的一些基本的性质，其中让我印象非常深刻的是关于域的如下几个性质：性质1、R是一个有限域，那么R上有pn个元素。这里的素数p是F的特征，n是F在它的素子域上的维数。（该定理给出了有限域的一个算术性质）在课上，老师向我们介绍过关于环的特征的一些性质，即如果R为环，n是固定的正整数，那么则存在一个最小的正整数m使得对∀a∈R,ma=0。因此m称为环R的特征。老师在关于环的特征的探讨中，让我也有了一点自己关于环的特征的感觉。如果环R没有零因子，那么环R的特征为其中任意一个元素的加法阶。（所有非零元的加法阶一定是

6、相同的）。这给我的感觉有些像群中的循环群，因为在群中任何一个元素的阶都是相同的，并且都是由循环群的任意一个元所生成的。但是在之后的学习中，我发现环的极大理想生成也许和循环群更加具有等价性。而在此处关于域的特征的定义，让我对特征的由来不禁更加产生了疑惑。性质2、对每一个素数p，和每一个正整数n，都存在一个pn个元素的有限域。而且在同构的意义下，pn元有限域是唯一的。（有限域的存在性与唯一性）我认为该性质从本质上探讨了有限域的同构分类问题。即有限域的两个核心要素就是素数p和正整数n。由上述定理的唯一性，我们可以称含pn=q个元素的有限域为q元有限域，记

7、为Fq性质3、令Fq是q元有限域，那么Fq的每一个子域的阶为pm。此处m是n的公因数。反之若m是n的一个公因数，则Fq恰有一个pm元子域。该性质给出了一个关于子域的判定准则，在公因数的的条件的下，类比到循环群，其中循环群的公因数的阶所构成的循环群一定是该本身循环群的子群。其中关于环的子环也和公因数有着密不可分的关系。我觉得关于子群（环、域）的定义贯穿了整个代数系数，是否他就是代数系统种运算的本质呢。最后，在抱着诸多的疑问之下，结束了近世代数的学习，此处非常感谢老师每节课坚持手写板书，没有用PPT教学。让我能够更加认真的学习近世代数这门课，老师在课上

8、所给的证明也是经过精心准备的，可以说是用最简洁的证明帮助我们去理解近世代数中的结论。在此衷心感谢老师对我们的付出。