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时间:2020-04-29
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1、谈“三线合一”定理的运用 [摘要]“三线合一”定理很重要.学生熟练掌握此定理能突破解题难点,容易找到解题的方法. [关键词]三线合一;等腰三角形;运用 [中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]1674605820003001 等腰三角形在初中几何里很基础,等腰三角形的性质在实际的应用中非常普遍,尤其是“三线合一”这一重要定理.等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线互相重合,简称“三线合一”.不少教案中都是把它和“等边对等角”放在一起讲.我觉得等腰三角形的“三线合一”性质在初中几何证明和计
2、算中占据了非常重要的地位.学生既需要知道它的由来,又要知道它的用途,还要能在图形不全的情况下补全“三线合一”所在的基本图形.因此,教师在教学“三线合一”定理时应该给予学生恰当引导,适时启发,做到“授人以鱼,不如授之以渔”.教师如果把握好“三线合一”定理在辅助线教学中的应用,把握好化归思想方法的渗透,将有助于学生把握解题的关键,更好地培养和发展学生的思维能力,突破解题的难点,探明解题的方法,从而帮助学生提高解决问题的能力. 【例1】如图1,点D在△ABC的边BA的延长线上,过点D作DF⊥BC,交AC于E,垂足
3、为点F.若AE=AD,求证:AB=AC. 分析:本题有三种证明方法. 方法1:根据AE=AD,得到∠D=∠DEA,再借助垂直关系,以及∠CEF=∠DEA,把∠D=∠DEA转化为∠B=∠C,从而得证. 方法2:看到AE=AD的条件,我们马上想到等腰三角形的底边上“三线合一”定理,于是尝试着过点A作AH垂直DE,交DE于H,得到底边上的高AH,那么线段AH身兼三职: 底边上的高、底边上的中线和顶角平分线.于是,问题迎刃而解!证明:如图2,过点A作AH⊥DE,交DE于H,则AH∥BC. ∵AD=AE∴AH
4、平分∠DAE. ∴∠DAH=∠EAH,而∠DAH=∠B,∠EAH=∠C. ∴∠B=∠C,∴AB=AC. 方法3:将“三线合一”定理逆过来用,即若有一个三 角形一边上两线合一,通过证明必可得三线合一,并且推出这是个等腰三角形. 故本题也可以从“求证AB=AC”这个求证的结论得到提示与启发. 证明:如图3,过点A作AG⊥BC,则AG∥DF, ∵AD=AE,∴∠D=∠AED. ∵∠D=∠BAG,∠ADE=∠CAG,∴∠BAG=∠CAG. ∴∠B=∠C,∴AB=AC. 通过以上例题,我们有了这两个
5、思路:若题目给出等腰三角形的图形环境,我们会不由自主地想到“三线合一”定理,从而尝试着预算出“三线合一”定理能否给解题带来便利;题目中三角形里有一条线段身兼三线中的二线,我们也应该想到是否能促成等腰三角形的存在,毕竟等腰三角形是个特殊三角形,它带来的结论不少. 【例2】如图4,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D,CE⊥BD的延长线于点E,求证:BD=2CE. 分析:如图5,线段BD既是∠ABC的平分线,又是CE的垂线,让我们联想到“三线合一”定理.延长CE交BA延长线于
6、F,则△CBF为等腰三角形,于是问题变得简单了许多. 证明:延长CE交BA延长线于F, ∵BD平分∠FBC,BE⊥CF,∴BC=BF,且EC=EF=1/2CF,即CF=2CE. ∵∠BAC=∠CAF=90°,∠BDA=∠CDE=∠F,AB=AC,∴△ABD�c△ACF全等. ∴BD=CF,∴BD=2CE.
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