(江苏)高考数学-高考必会题型-专题6-立体几何-第27练-完美破解立体几何证明题.doc

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1、第27练　完美破解立体几何证明题题型一　空间中的平行问题例1　在如图所示多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明．(2)求多面体ABCDE的体积．破题切入点　(1)可先猜后证，可以利用线面平行的判定定理进行证明．(2)找到合适的底面．解　如图，(1)由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥ED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连结FH，AH，则FH綊ED，所以FH綊AB，所以四边形ABFH是平行四边形，所以BF∥AH，又因为BF⊄

2、平面ACD，AH⊂平面ACD，所以BF∥平面ACD.(2)取AD中点G，连结CG.因为AB⊥平面ACD，所以CG⊥AB，又CG⊥AD，AB∩AD＝A，所以CG⊥平面ABED，即CG为四棱锥C－ABED的高，求得CG＝，所以VC－ABED＝××2×＝.即多面体ABCDE的体积为.-9-题型二　空间中的垂直问题例2　如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB⊥B1C.(1)求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.(2)若AB＝2，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．破题切入点　(1)考查面面垂直的判定定理．(2)注

3、意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系．(1)证明　由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1.又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，又AB⊂平面AA1B1B，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.(2)解　由题意，CB＝CB1，设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1.由(1)知，CO⊥平面AA1B1B，且CO＝BC＝AB＝.连结AB1，则＝·CO＝AB2·CO＝.因为＝＝＝，所以＝2.故三棱柱ABC－A1B1C1的体积为2.题型三　空间中的平行、垂直综合问题-9-例3　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥M

4、A，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG∥平面PMA；(2)求证：平面EFG⊥平面PDC；(3)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．破题切入点　(1)证明EG、FG都平行于平面PMA.(2)证明GF⊥平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．(1)证明　∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵EG⊄平面PMA，GF⊄平面PMA，PM⊂平面PMA，AD⊂平面PMA，∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA.又∵E

5、G⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面PMA.(2)证明　由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.由(1)知GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.(3)解　∵PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2.∵DA⊥平面MAB，且PD∥MA，∴DA即为点P到平面MAB的距离，∴VP－MAB∶VP－ABCD＝(S△MAB·DA)∶(S正方形ABCD·P

6、D)＝S△MAB∶S正方形ABCD＝∶(2×2)＝1∶4.即三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比为1∶4.总结提高　1.证明平行关系的方法：(1)证明线线平行的常用方法：①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；②利用平行四边形进行转换；③利用三角形中位线定理证明；④利用线面平行、面面平行的性质定理证明．(2)证明线面平行的常用方法：-9-①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．(3)证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，

7、从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．2．证明空间中垂直关系的方法：(1)证明线线垂直的常用方法①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；②利用勾股定理逆定理；③利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．(2)证明线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个