知识点六(重积分).doc

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1、1．二重积分（1）求二重积分的一般步骤为①画出积分区域的草图，并写出积分域；②根据积分区域与被积函数的特点选取适当的坐标系.一般地，当二重积分的被积函数等因子时，以及积分域为以原点为中心的圆域、扇域，或过原点而中心在坐标轴上的圆域，利用极坐标来计算往往会更加简便；③根据积分区域与被积函数的特点选取适当的积分次序.二重积分化为二次积分（也称累次积分）后，其本质是进行二次定积分的计算，对先积分的变量求定积分时，后积分的变量应视为一个常数.直角坐标系下定限口诀可归纳为：后积先定限，上限与下限，均应为常限

2、；限内划条线，先交下限写，后交上限见.（2）注意根据积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算.①如果关于轴对称，为的奇（偶）函数，则其中为中的部分.②如果关于轴对称，为的奇（偶）函数，则其中为中的部分.③如果关于原点对称，为的奇（偶）函数，则其中为中的部分，也可为中的部分.④如果关于直线对称，则147.（3）被积函数为分段函数（包括绝对值函数、取极值函数）时，要利用积分区域的可加性，正确划分积分区域，以确定被积函数的表达式.2．三重积分（1）计算三重积分注意选择积分顺序问题：“先单后重”与“

3、先重后单”积分法.回顾化成累次积分的顺序是先对某一个变量，例如，做一次单积分，然后再做关于另外两个变量与的一个二重积分，即其实，上式中的二重积分与单积分的次序是可以交换的，即可把它写成其中是把暂时固定，过点且垂直于z轴的平面截域所得到的截面域.对后一个等式我们可以这样来理解，把等式的左端看作是以为密度的物质立体的质量，右端看作是把物质立体切成薄片，然后把所有薄片的质量相加.（2）根据积分域和被积函数的特点选择适当的坐标系.一般地，下列情形适用柱面坐标求三重积分：积分域的边界为圆柱面、圆锥面、旋转抛

4、物面或投影域D为圆域，被积函数含有的因子.而若积分域的边界为球面或圆锥面，，则利用球面坐标求三重积比较方便.但要记住：①化为柱面坐标时，要把换成，；②化为球面坐标时，要把换成，.（3）注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性计算三重积分.设在有界闭区域连续，若关于平面对称（），则147其中.若关于平面（或）平面，关于（或）为奇函数或偶函数有类似的结果.3.重积分的应用（1）几何方面的应用①求几何体的体积，或.②曲面的面积设曲面的方程为，则曲面的面积.其中曲面的面积元素.（2）物理方面的应用①求质量平

5、面薄片的质量其中是平面薄片在点的面密度.空间非均匀密度物体的质量为其中是非均匀物体在点处的密度.②求重心平面薄片的重心坐标为其中是平面薄片在点的面密度.147空间物体的重心其中是非均匀物体在点处的密度，③求转动惯量平面薄片轴和对轴的转动惯量分别为其中是平面薄片在点的面密度.空间物体对三个坐标轴的转动惯量分别为其中是非均匀物体在点处的密度.147