函数的极值教案.doc

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1、教案编号：1号课程名称：高等数学编写时间：授课章节§6.2函数的极值及其求法目的要求１、掌握函数极值的概念和函数极值存在的必要条件和两个充分条件．2、根据相关知识点会求某些函数的极值．3、通过本节课的学习，使学生领悟局部与整体的辩证关系．重点难点1、极值的必要、充分条件．2、函数极值的求法的理解与掌握．一、复习导入上节课我们应用导数来研究了函数的单调性，知道了函数的单调性与导数的符号有着密切的联系．即设函数在闭区间上连续，在开区间内可导．（1）如果在内，则在上单调增加；（2）如果在内，则在上单调

2、减少．观察下面函数的图像：xboaX1X2X3X4X5y图1函数值与函数在点附近的函数值进行比较，会有什么结论呢？那么，在、、与点处的情况如何呢？主要内容与时间分配（大约）极值的概念10分钟极值的必要条件15分钟第一充分条件15分钟第二充分条件15分钟极值求法应用举例20分钟小结、巩固练习15分钟8二、探究新课（一）、函数极值的定义定义1设函数在点的某一邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一，都有（或）则称函数值是函数的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值

3、的点称为极值点．对极值定义的理解：1、函数的极大值、极小值概念是局部性的概念．2、函数的极大值不一定比极小值大．3、函数的极值点一定出现在区间内部．（二）、函数存在极值的必要条件观察图1，极值点处的切线有什么特点？结合导数的几何意义，我们能否得到什么样的结论？定理1﹙极值的必要条件﹚设函数在处可导，且在处取得极值，则一定有．分析：我们知道函数的极值就是局部的最值，而证明极值点处的导数为零只要在极值点的某一邻域内考虑即可，那么就是证明这一邻域内的最值处导数为零，而这实际上就是费马（Fermat）引

4、理的内容．证明：设为极大值（为极小值时可类似证明）．根据极值的定义，对于，恒有，于是当，，故参考书目1、《高等数学》辽宁省师范院校初等教育专业教材．2、《高等数学》同济大学第五版．8．当，，故．从而，．（三）、函数存在极值的充分条件定义2使导数的点称为函数的驻点（稳定点）．定理1表明：可导函数的极值点必定是驻点。讨论：1、函数的驻点一定是极值点吗？2、函数的导数不存在的点可能是极值点吗？3、观察图1，极大值点与极小值点左右两侧的函数的导数符号如何变化？注意：驻点不一定是极值点，例如函数的驻点就不

5、是极值点．定理1表明，对可导函数而言求极值点应先找出驻点，然后对驻点进行判断，哪些是极值点哪些不是极值点．根据极值的定义及函数单调性的判定法不难知道：如果在驻点两侧函数导数的符号相反，则驻点必然是使函数单调性改变的点，从而一定是函数的极值点．由此我们得到下面的定理定理2（极值的第一充分条件）设函数在点处连续，且在点的某一邻域（点可除外）内具有导数，对于，（1）若当时，，当，，则是函数的极大值；（2）若当时，，当，，则是函数的极小值；（3）若在两侧，的符号相同，则不是8的极值．分析：显然（1）与（

6、2）的证明是类似的．由于证明极值是比较处的函数值与其邻域内的其它点处的函数值，而拉格朗日（Lagrange）中值定理就是讨论函数值之差与自变量之差之间的关系的，因此应用拉格朗日（Lagrange）中值定理可证明．证明：仅证⑴，设为内任意一点，根据拉格朗日（Lagrange）中值定理得．由（1）的条件可知：当时，，所以，所以；当，，所以，所以．对于内任意一点，都有．根据极值的定义知是函数的极大值．（2）、（3）的证明是类似的，建议学生给出．定理2表明：如果在点两侧的导数符号相反，就一定是极值点，如

7、果在点两侧的导数符号相同，则就一定不是极值点．问题：根据定理2能否寻求到求函数极值的方法？求极值的步骤：(1)求出导数；(2)求出的全部驻点和不可导点；(3)根据定理2确定这些点是不是极值点，如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；(4)求出各极值点处的函数值,就得到函数的全部极值．应用举例：例1求函数的极值．8解该函数的定义域为．令，得驻点，．驻点将定义域分成三部分，现列表讨论如下：-13+0-0+↗极大值↘极小值↗由表可知，函数在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为．上述

8、有关极值的充分条件和必要条件都是对可导函数而言的，在此条件下，极值点一定是驻点，因此只要求出函数的驻点，再由定理2考察各个驻点是否为极值点就行了．但是如果函数有不可导点，就不能肯定极值点一定是驻点了，因为在导数不存在的点处，函数也可能取得极值。请看下例：例2求函数的极值．解该函数的定义域为．当时，；当时，不存在．当时，；当时，，又在处连续，所以是函数的极大值点，极大值为．注意：以上是利用函数的一阶导数来讨论函数的极值，当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下面的定理用二阶导数来判断函