四元数微分方程的推导.doc

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1、1、四元数定义包括一个实数单位1和三个虚数单位i,j,k2、旋转四元数一个有固定点的刚体通过绕该点的某个轴转过特定角度可达到任何姿态转轴的方向可以表示成一个单位矢量:则描述该转动的四元数可以表示成:（规范化四元数）四元数既反映了转动的方向又反映了转动的幅值。3、四元数性质（1）矢量旋转：在坐标系中，向量绕转轴转过角度得到向量，则（2）为的共轭四元数（3）与互逆，（4）四元数的范数：（5）规范化四元数：（6）坐标系旋转：矢量固定不动，坐标系按照四元数Q转动，得到新坐标系，设矢量在两坐标系中的映像分别为、，则4、四元数方向余弦矩阵一

2、个矢量相对于坐标系固定：；坐标系转动了得到一个新坐标系：设四元数、则设则将地理坐标系利用四元素转换为载体坐标系时，其方向余弦矩阵为捷联惯导中的姿态更新实质上是如何计算四元数。5、四元数微分方程由于载体的运动，四元数是变量，即、、、是时间的函数。刚体绕瞬时转轴转过角，其角速度为：（式1）设这个运载体坐标系（b系）和地理坐标系（n系）之间的变换四元数的三角形式为：θ角对时间t的导数（式2）对式2求导可得：（式3）前导后不导加上后导前不导因为旋转轴未变化则即：有由于捷联惯性导航系统的惯性器件是直接固联在运载体上的，所以陀螺测量得到的角

3、速度是沿运载体坐标系的绝对角速度，因此上式应用式不方便，需要进行进一步变换。由性质（6）可知：又因为则将式10写成矩阵形式为：（式11）（式12）式中，分别表示载体坐标系相对于地理坐标系沿各个轴向的角速度分量，可直接测得。这里解四个一阶微分方程即可求得、、、。6、求解四元数微分方程