lry-偏微分方程的推导

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1、第2章偏微分方程2.1引言1方程的阶数：方程中出现的偏导数的最高阶数。线性方程：方程经过有理化并消去分式后，若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项。非线性方程：方程经过有理化并消去分式后，若方程中有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项。拟线性方程：在非线性方程中，若仅对未知函数的所有最高阶导数是线性的。2自由项：在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项。齐次方程：自由项为零。非齐次方程：自由项不为零。一阶、线性、非齐次二阶、拟线性、齐次二阶、非线性、非齐次34结论：偏微分方程的通解包含有任意函数，或者说其通解形式是不确

2、定的。因此解偏微分方程，一般不是先求通解，后由定解条件确定特解（只有少数情况例外），而是直接求特解。一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象的共性规律，它可以有很多不同形式的特解。所以可称为泛定方程。52.2二阶偏微分方程的分类6789§2.3基本方程的导出泛定方程的建立也就是把物理规律“翻译”成数学物理方程。微元法：先选择表示系统运动状态的物理量，再任取体系中的一个小部分，分析这一部分所受的作用，以及它在物理规律的支配下所引起的运动变化情况，导出泛定方程。一、弦的横振动方程几个条件：均匀细绳：ρ为常数，作为一维空间来处理（细绳

3、）；轻绳：忽略重力影响；柔软：横截面方向上无应力（无切变力），张力沿弦切线；微小振动：弦切线与x轴夹角α≈0或；横向振动：弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向.10设弦的平衡状态沿x方向，且在同一平面振动.由于是微振动：11根据牛顿第二定律：12——弦的自由横振动方程或写成：13受迫振动情况：力密度F(x,t)：单位长度的弦所受的横向外力.14单位质量的弦所受的横向外力15（二）热传导方程热传导：由于温度不均匀，热量从温度高向温度低的地方转移.热流通量：单位时间内通过单位横截面积的热量.实验结果：——哈密顿算符k——导热系数16

4、为系统（x,y,z）点在t时的温度单位时间沿x方向流入小六面体的热量：单位时间沿x方向流出小六面体的热量：单位时间沿x方向净流入小六面体的热量：17同理，单位时间内沿y,z方向净流入小六面体的热量分别是：单位时间内沿x,y,z方向净流入小六面体的总热量分别是:18单位时间内小六面体热量的增加是:在各向同性条件下：19——温度传导系数或写成：——热传导方程一维空间：二维空间：20讨论：1、有热源存在情况下.热源强度F(x,y,z,t)：单位时间单位体积热源放出的热量。f>0称为热源，f<0称为热汇.212、稳定的温度分布.——泊松方程

5、——拉普拉斯方程（f=0）22§2.4数理方程的定解条件一、初始条件初始条件：给出某一初始时刻整个系统的已知条件1、传递过程（扩散、热传导）热传导（扩散）问题只须给出整个系统的初始温度（浓度）分布，而振动问题必须给出整个系统的初始位移何初始速度。2、振动过程（弦、杆的振动）从数学上来看，振动方程中u对时间求二次导数，而传递问题中u或N只对时间一次导数。23（二）边界条件边界条件：给出系统的边界在各个时刻的已知状态1、第一类边界条件：给出边界上u的值，1）弦的横振动两端固定x=0端位移状态已知2）杆的热传导两端处于恒温uo两端的温度变

6、化已知总之，这类边界条件直接规定了边界上的数值（可以是随时间变化的数值）.242、第二类边界条件：给出边界上u的梯度值，1）杆的纵振动（两端自由）2）杆的热传导（两端绝热）x=0，单位时间内流出小薄层的热量为：25合并写成：杆的热传导（两端有热流强度为f(t)的热流流出）在x=0端26在x=l端合并写成：3、第三类边界条件：在这类边界条件，即不直接规定边界上的数值，也不直接规定边界上法向导数的数值，而是规定它们之间的某个线性关系。27杆的热传导（两端按牛顿冷却定律与外界进行热交换）牛顿冷却定律：单位时间内通过单位横截面积与外界热交换

7、流出的热量为，H——牛顿冷却系数，u——系统边界的温度，——外界的温度.在x=0端将热流强度f(t)写成牛顿冷却定律:28在x=l端合并写成：齐次的边界条件给出的上述的值为零，则称为是齐次的边条件，即f(t)=0.293031数学物理定解问题的适定性(1)解的存在性看所归结出来的定解问题是否有解；(2)解的唯一性看是否只有一个解(3)解的稳定性当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性.323334