2012压轴题-二次函数.doc

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1、2012压轴题——二次函数1．（2011四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,如图，设它的顶点为B(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.【答案】（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2（2）∵抛物线的解析式是y=x²

2、-2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C是对称点，∴AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。（3）平移后解析式为y=x²-2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)∴EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=x+b把E点和F点分别代入可得b=或-3，∴y=x+或y=x-3列方程得解方程x1=-1,x2=,x1是E点坐标舍去，把x2=代入得y=,∴P1（，）同理

3、易得x1=0舍去，x2=代入y=-,∴P2(,-)2.（2011广东肇庆，25，10分）已知抛物线（>0）与轴交于、两点．（1）求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；（2）若（是坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与轴交于点，若D是直角三角形，求D的面积．【答案】（1）证明：∵>0∴∴抛物线的对称轴在轴的左侧（2）解：设抛物线与轴交点坐标为A（，0），B（，0），则，，∴与异号又∴由（1）知：抛物线的对称轴在轴的左侧∴，∴,代入得：即，从而，解得：∴抛物线的解析式是（3）[解法一]：当时，∴抛

4、物线与轴交点坐标为（0，）∵D是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB，∴∠CAB＝90°—∠ABC，∠BCO＝90°—∠ABC，∴∠CAB＝∠BCO∴Rt△AOC∽Rt△COB，∴，即∴即解得：此时＝，∴点的坐标为（0，—1）∴OC＝1又∵>0，∴即AB＝∴D的面积＝×AB×OC＝´´1＝[解法二]：略解:当时，∴点（0，）∵D是直角三角形∴∴∴∴解得：∴3.(20011江苏镇江,24,7分)如图,在△ABO中,已知点A(,3),B(-1,-1),O(0,0),正比例y=-x的图象是直线

5、l,直线AC∥x轴交直线l于点C.(1)C点坐标为_____;(2)以点O为旋转中心,将△ABO顺时针旋转角a(0°

6、的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．第27题图【答案】（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，∴×(-1)2+b×(-1)–2=0，解得b=∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.y=x2-x-2=(x2-3x-4)=(x-)2-,∴顶点D的坐标为(,-).（2）当x=0时y=-2,∴C（0，-2），OC=2。当y=0时，x2-x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0)∴OA=1,OB

7、=4,AB=5.∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.∴∴，∴m=．解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n,则，解得n=2,.∴.∴当y=0时，

8、，.∴.5.（2010湖北孝感，25，2分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（5分）（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.（5分）【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，