物理竞赛复赛模拟训练卷11

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1、物理竞赛复赛模拟训练卷11质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。图4-10-4现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图4-10-4所示，求（1）转移所需的最少能量；（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化各为多少？解:（1）宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为，乃有故得此时飞船的动能和引力势能分别为所以飞船在2R轨道上的机械能为同理可得飞船在4R轨道上的机械能为以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实

2、现轨道转移所需的最少能量，即（2）由（1）已得飞船在2R轨道上运行的速度为同样可得飞船4R轨道上运行的速度为设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时，在A、B两点的速度分别为。则由开普勒第二定律可得又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有-6-联立以上两式解之可得故得飞船在A、B两轨道交接处的速度变化量分别为a图4-10-5例如：三个钢球A、B、C由轻质的长为的硬杆连接，竖立在水平面上，如图4-10-5所示。已知三球质量，，距离杆处有一面竖直墙。因受微小扰动，两杆分别向两边滑动，使B球竖直位置下降。致使C球与墙面发生碰撞。设C球与墙面碰撞前后其速

3、度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径都比小很多，求B球落地瞬间三球的速度大小。解：（1）球碰墙前三球的位置视A、B、C三者为一系统，A、C在水平面上滑动时，只要C不与墙面相碰，则此系图4-10-7统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。以图4-10-6表示C球刚好要碰墙前三球的位置，以表示此时BC杆与水平面间的夹角，则AB杆与水平面间的夹角也为，并令BA杆上的M点与系统质心的水平坐标相同，则应有故得①由上述知M点的水平坐标应与原来三秋所在的位置的水平坐标相同，故知此刻M点与右侧墙面的距离即为，即M点与C球的水平距离为，由此有，即。由上式解

4、得，故有②（2）求三球碰墙前的速度由于碰墙前M点的水平坐标不变，则在A、C-6-沿水平面滑动过程中的任何时刻，由于图中的几何约束，C点与M点的水平距离总等于A点与M点的水平距离的倍，可见任何时刻C点的水平速度大小总为A点水平速度大小的倍。以、、分别表示图5-2-2中三球的速度，则有③又设沿BC方向的分量为，则由于和分别为杆BC两端的小球速度，则此两小球速度沿着杆方向的投影应该相等，即。再设沿BA方向的分量为，同上道理可得注意到BA与BC两个方向刚好互相垂直，故得的大小为以②③两式带入上式，乃得④图4-10-8由于系统与图5-2-1状态到图5-2-2状态

5、的机械能守恒，乃有。以①~④式代入上式。解方程知可得⑤（3）求C球在刚碰墙后三球的速度如图4-10-8所示，由于C球与墙碰撞，导致C球的速度反向而大小不变，由于杆BC对碰撞作用力的传递，使B球的速度也随之变化，这一变化的结果是：B球速度沿CB方向的分量与C球速度沿CB方向的分量相等，即⑥由于BC杆只能传递沿其杆身方向的力，故B球在垂直于杆身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而发生变化，A球的速度也不因碰撞而发生变化，即其仍为。故得此时B球速度沿BA方向的分量满足如图2-3-5所示，从A点以的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC

6、，要求小球能越过B点。问小球以怎样的角度抛出，才能使最小？将斜抛运动看成是方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图2-3-6所示。-6-ABChβDα图2-3-6在位移三角形ADB在用正弦定理①④轨迹：由直角坐标的位移公式消去时间参数t便可得到直角坐标系中的平抛运由①式中第一个等式可得②将②式代入①式中第二个等式当有极大值1时，即时，有极小值。因为，所以当小球越过墙顶时，y方向的位移为零，由②式可得③式代入式①：我们还可用另一种处理方法以AB方向作为x轴（图2-3-7）这样一取，小球在x、y方向上做的都是匀变速运动了，和g都要正交分解到x、

7、y方向上去。小球运动的方程为ABCxyg图2-3-7-6-∴当最大，即时，，有极小值，⑦乃得刚碰撞后B球速度大小为⑧（4）求B球落地时三球的速度大小碰撞后，三球速度都有水平向左的分量，可见此后系统质心速度在水平方向的分量应该方向向左，且由于此后系统不受水平外力，则应维持不变。由上解得的三球速度，可得应该满足。以③、⑤、⑥、⑦诸式代入上式可解得⑨当B球落地时，A、B、C三小球均在同一水平线上，它们沿水平方向的速度相等，显然，这一速度也就是系统质心速度的水平分量。而B小球刚要落地时，A、C两球的速度均沿水平方向（即只有水平分量），B球的速度则还有竖直分量，

8、以落表示此刻B球速度的大小。则由图4-10-8所示的状态到B小球刚要落地时，系统的机械能守恒，