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1、31物理与工程Vol.14No.52004纯滚动运动中的摩擦力做功问题周雨青叶兆宁彭毅(东南大学物理系,江苏南京210096)(收稿日期:2004204230)摘要大学物理教学中普遍要讲授刚体的平面平行运动,而小球的纯滚动问题恰是该运动中的典型问题.本文就纯滚动问题中的摩擦力是否做功?做功的实质以及坐标系选择对此问题的影响作了比较清晰的阐述.关键词纯滚动;摩擦力;做功;坐标系THEWORKBYFRICTIONINPUREROLLINGZhouYuqingYeZhaoningPengYi(PhysicsDepartmen
2、t,SoutheastUniversity,Nanjing,Jiangsu210096)AbstractTheparallelmotionisoneoftheimportantpartinthecollegephysics.thepurerollingofasmallballisatypicalexample.Inthispaper,westudiedtheprocesscarefully,andobtainedsomemeanfulresults.KeyWordspurerolling;friction;work;c
3、oordinatesystem1问题的提出2分析一个半径为R的小球从高度为h,倾角为α我们将从计算该问题中的功的过程中寻找正的斜面上做初始速度为零的纯滚动运动(见图1).确的解释方式.针对摩擦力是否做功的问题,有两种说法:一种说2.1从参照系的选择看摩擦力的做功法是,从做功定义(dW=F·ds)和纯滚动条件来(1)选择与斜面相对静止的参照系,并选择看,由于接触点瞬间无位移(瞬时速度为零).因如图2所示的坐标系.而,f不做功.另一种说法是:由于小球滚下过程中因为,接触点的速度为小球旋转要加速,因此,摩擦力对小球中心的力矩
4、dx=(vC-Rω)i要做功(dW=Mdθ),因而摩擦力做功.dt图2图1所以有:dx=(vC-Rω)idt则(静)摩擦力的微功为两种说法均有依据,那么,到底做不做功呢?dWf=f·dx32物理与工程Vol.14No.52004由纯滚动的条件所以vC=Rω知dx=0dωW′f=∫MCdθ=JC∫dθdt所以,dWf=0,即在与斜面相对静止的参照系中,ω摩擦力确实不做功.=Jωdω=1Jω2≠0(6)C∫C02依此,若选择小球、地球为一个系统,机械能由此可以看出,摩擦力在质心平动系中所做守恒.我们可以很容易算得小球从坡顶
5、静止滚至功不为零,且产生的作用是使小球获得转动动能.坡底的平动动能(增量)和转动动能(增量).由机此外,由质心的非惯性系关系知(见图4)械能守恒及纯滚动条件有f=mgsinα-maC1212mgh=mvC+JCω(1)22(2)vC=Rω由上两式得222mghR12mghRvC=2,ω=2mR+JCRmR+J22若取JC=mR,则有510110gh图4vC=gh,ω=7R7则式(6)的右边可以计算如下:所以:W′f=MCdθ=f·Rdθ125∫∫Ek平=mvC=mgh(3)27=∫(mgsinα-maC)Rdθ122E
6、k转=JCω=mgh(4)27dvC=Rmgsinα∫dθ-mR∫dθ问题却并未到此结束.若与一个理想化的光dt滑斜面对比,由于没有摩擦小球不会转动,因而从=Rmgsinα∫dθ-mR∫ωdvC相同高度上滑下的平动动能即为考虑到纯滚动条件Rω=vCEk平=mgh(5)对比(3)、(4)、(5)三式,我们不难看出正因为则W′f=Rmgsinα∫dθ-m∫vCdvC摩擦力的存在使得平动动能有一部分通过做功转再一次考虑纯滚动条件,并考虑小球从坡顶化为转动动能,而这里的做功只能来自摩擦(做静止滚至坡底,则积分限分别为功)!那么
7、,这个摩擦做功是怎么出现的呢?hdθ:0→Rsinα(2)选择与小球质心平动相对静止的参照系dvC:0→vC(见图3).所以h/RsinαvCW′f=Rmgsinα∫dθ-m∫vCdvC0012=mgh-mvC(7)2由式(7)=式(6),得1212mgh=mvC+JCω图322摩擦力表示为恰好就是式(1),这里并没有用机械能守恒关系却f=-fi得到了机械能守恒的结果.这说明,摩擦力做功并接触点的速度为没有产生机械能的耗散.只是作为一个桥梁将一dx′部分的重力势能转化为了转动动能.=-Rωi]dx′=-Rωidtdt2
8、.2不同参照系之间的协调性则dW′f=f·dx′=fRωdt=MCdθ实际上,在斜面参照系中,小球与斜面的接触33物理与工程Vol.14No.52004点同时参与质心平动和绕质心的转动,摩擦力对的实质所在.此都要做功.只不过对质心运动做功为负,对绕质心运动做功为正.且二者大小相等,总功为零.3总结从数学式子里即能看出上述分析.因为
