电子科技大学 随机过程 覃思义 第一章1sjgc1.5.ppt

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1、电子科技大学一、特征函数的定义及例设X,Y是实随机变量,复随机变量Z=X+jY,的数学期望定义为特别§1.5特征函数电子科技大学注1）costx和sintx均为有界函数,故总存在.2)是实变量t的复值函数.X是实随机变量求随机变量X的函数的数学期望电子科技大学定义1.5.1设X是定义在(Ω,F,P)上的随机变量,称为X的特征函数.关于X的分布函数的Fourier-Stieltjes变换当X是连续型随机变量当X是离散型随机变量电子科技大学Ex.1单点分布Ex.2两点分布Ex.3二项分布Ex.4泊松分

2、布电子科技大学Ex.5指数分布电子科技大学Ex.6均匀分布Ex.7正态分布N(m,s2)特别正态分布N(0,1)，则电子科技大学证明电子科技大学二、特征函数性质性质1.5.1随机变量X的特征函数满足：证司蒂阶积分性质或矩的性质电子科技大学性质1.5.2随机变量X的特征函数为则Y=aX+b的特征函数是a,b是常数.电子科技大学Ex.8设Y～N(m,σ2),求其特征函数.解设X～N(0,1),有Y=sX+m,且证电子科技大学性质1.5.3随机变量X的特征函数在R上一致连续.使时,对t一致地有一般，性质

3、1.5.4特征函数是非负定的函数，即对任意正整数n,任意复数z1,z2,…,zn,及电子科技大学证注以上性质中一致连续性，非负定性是本质性的.电子科技大学定理1.5.1(波赫纳—辛钦)函数为特征函数的充分必要条件是在R上一致连续，非负定且定理1.5.2若随机变量X的n阶矩存在,则X的特征函数的k阶导数存在,且三、特征函数与矩的关系注逆不真.电子科技大学证仅证连续型情形设X的概率密度为f(x)，有电子科技大学令t=0，得故Ex.9随机变量X的概率密度为解电子科技大学故电子科技大学三、反演公式及唯一性

4、定理由随机变量X的分布函数可惟一确定其特征函数：问题能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？？从而电子科技大学定理1.5.3（反演公式）设随机变量X的分布函数和特征函数分别为F(x)和则对F(x)的任意连续点x1,x2,（x1

5、数为推论3随机变量X是离散型的,其分布律为电子科技大学且反演公式证设有电子科技大学Ex.9随机变量X在[]上服从均匀分布,Y=cosX,利用特征函数求Y的概率密度.解X的概率密度为电子科技大学Y的特征函数为偶函数令根据特征函数与分布函数一一对应的惟一性定理,知随机变量Y的概率密度为Ex.10已知随机变量X的特征函数为试求X的概率分布.电子科技大学解根据特征函数与分布函数一一对应的惟一性定理,知随机变量X的分布律为X-202p1/41/21/4电子科技大学四、独立随机变量和的特征函数则定理1.5.4

6、随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,令Ex.11随机变量Y～B(n,p),写出其特征函数.解二项分布随机变量Y可表示为,且Xk～B(1,p),k=1,2,…,n,相互独立,故Y的特征函数为电子科技大学Ex.12若X1,X2,…,Xn相互独立,且Xk～N(0,1),证明也服从N(0,1)分布.证Xk的特征函数为,则从而由唯一性定理知,Y～N(0,1).电子科技大学五、多维随机变量的特征函数定义1.5.2二维随机变量(X,Y)的特征函数定义为连续型电子科技大学离散型定义1.5.3n维随机向量(X1,

7、X2,…,Xn)的分布函数为F(x1,x2,…,xn),则它的特征函数为电子科技大学性质1.5.51)随机变量X1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是与独立和的特征函数性质有什么差别?2)二维随机变量(X,Y)的特征函数为则Z=aX+bY+c的特征函数为电子科技大学特别有证Ex.13设(X1,X2)服从二维正态分布,且E(Xk)=k,k=1,2,记.电子科技大学解求Y=X1+X2的特征函数.电子科技大学故Y=X1+X2～N(3,12).