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《电子科技大学 随机过程 覃思义 第五章sjgc5.3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、电子科技大学§5.3平稳过程的各态历经性一、问题背景1）在何种条件下,可以依据平稳过程的一条现实建立有效描述过程的数学模型？2）实际问题中常需确定随机过程的数学期望和方差、相关函数；如飞机在高空飞行，受湍流影响产生机翼震动，需考虑机翼振幅大小的均值与方差.电子科技大学电路中电子不规则运动引起的热噪声(电位的脉动).考虑脉动范围,噪声功率等归结为求过程的方差,相关系数.2）对实际动态数据进行零均值化,如何从数据得到均值函数？3）困难在于需知道过程的一、二维分布.4）设想用试验法解决.电子科技大学设想研究平稳过程{X
2、(t),t∈T}，X(t1,ω)X(t,ω1)X(t,ω2)X(t,ω3)t1tn+τX(tn+τ,ω)进行足够多次的试验，得到样本函数族电子科技大学根据大数定律，对固定t1∈T，可令缺点1)需要很大n,实际工程中难以实现.统计平均2)过程具有不可重复性.电子科技大学Ex.1下面的数据是某城市1991~1996年中每个季度的民用煤消耗量（单位：吨）电子科技大学民用煤消耗量数据散布图年平均曲线数据曲线电子科技大学能否用一条样本函数去估计随机过程的数字特征？问题即能否用时间轴上的均值近似估计E{X(t)}、R(t)?
3、时间平均？过程满足一定条件时可行.电子科技大学二、平稳过程的各态历经性定义5.3.1设{X(t),t∈(－∞,+∞)}是平稳过程，若均方极限存在,称为X(t)在(－∞,+∞)上的时间平均.二次均方极限对于固定的τ，均方极限二次均方极限存在,称为X(t)在(－∞,+∞)上的时间相关函数.电子科技大学注1应保证{X(t),t∈R}在任意有限区间上均方可积.(均方连续是充分条件).时间相关函数是随机过程.注2时间平均是随机变量,参数为τ平稳随机过程的均值函数是常数，相关函数R(τ)是普通函数.电子科技大学Ex.1设X(
4、t)=Y,t∈(－∞,+∞),且D(Y)≠0,D(Y)<+∞.计算X(t)的时间平均和时间相关函数解X(t)是平稳过程.电子科技大学Ex.2设a,ω0是实常数,Θ～U(0,2π),计算X(t)的时间平均和时间相关函数.{X(t),t∈(-∞,+∞)}是平稳过程.解电子科技大学电子科技大学定义5.3.2设{X(t),t∈(－∞,+∞)}是平稳过程称X(t)的均值具有各态历经性(均方遍历性).称X(t)的相关函数具有各态历经性.均值和相关函数都具有各态历经性的平稳过程称为各态历经过程.注各态历经过程一定是平稳过程,逆
5、不真.电子科技大学一个随机过程具备各态历经性,可以通过研究其一条样本函数来获取过程的全部信息.思想方法：用时间平均代替统计平均.续Ex.1设X(t)=Y,t∈(－∞,+∞),且D(Y)≠0,D(Y)<+∞,{X(t)是平稳过程.X(t)的均值不具有各态历经性.若Y非单点分布时,电子科技大学又因X(t)的自相关函数也不具有各态历经性.续Ex.2设a,ω0是实常数,Θ～U(0,2π),讨论过程的遍历性.解电子科技大学X(t)的均值和相关函数都具有各态历经性.多数情况不必根据定义验证过程的均方遍历性,以下给出判断遍历性
6、的遍历性定理.电子科技大学三、均值各态历经性定理定理5.3.1设{X(t),t∈R}是平稳过程,则其均值各态历经的充要条件是电子科技大学推论1实随机过程{X(t),t∈R}是平稳过程,则其均值各态历经的充要条件为证均值各态历经电子科技大学P197性质4之(2)电子科技大学推论2电子科技大学推论3若平稳过程{X(t),t∈R}的相关函数满足则X(t)是均值各态历经的.－2T2T[]（－T1）T1电子科技大学－2T2T[]（－T1）T1电子科技大学续Ex.2设a,ω0是实常数,Θ～U(0,2π),讨论过程的遍历性.解
7、已按定义验证了X(t)的均值各态历经,电子科技大学故X(t)的均值有各态历经性.电子科技大学Ex.3设随机过程X(t)=Acos(ωt+Θ),其中A,ω,Θ是相互独立的随机变量,Θ～U[-p,p],ω～U[－5,5],E(A)=0,D(A)=4,讨论1)X(t)是否平稳过程；2)X(t)的均值是否各态历经.解E[X(t)]=E[Acos(ωt+Θ)]=0；=E{A2cos(ωt+Θ)cos(ω(t+τ)+Θ)}电子科技大学X(t)是平稳过程,又因X(t)关于均值各态历经.电子科技大学四、相关函数各态历经性定理则{
8、X(t),t∈R}的相关函数各态历经的充要条件是定理5.3.2{X(t),t∈R}是均方连续的平稳过程,且对固定的τ,{X(t)X(t+τ),t∈R}也是均方连续的平稳过程，电子科技大学证则RX(τ)=E[Z(t)]=mZ,根据定理5.3.1,对固定的τ,Z(t)均值各态历经的充要条件为电子科技大学电子科技大学推论1又若定理5.3.1中的{X(t),t∈R}是实随机过程，
