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1、电子科技大学§1.2随机变量及其分布一、随机变量定义1.2.1设(Ω,F,P)是概率空间,X(ω)是定义在Ω上的单值实函数,若对于任意实数x∈R,有称X(ω)是随机变量.可测空间(Ω,F)上的可测函数.电子科技大学X是概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,有对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应,ωXΩx=X(ω)随机变量X可理解为从样本空间Ω到实数集RX的一个映射.电子科技大学注由随机变量定义及σ代数性质,有使P{X≤x}总有意义.电子科技大学二、分布函数定义1.2.2设X(ω)是定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,令称F(x)为X的分布函数.性质1)F(x)是单调不减函数；电子科技大学3
2、）F(x)是右连续函数,即对证3）由于F(x)单调不减，根据单调原理仅需证,对任意的x∈R,有电子科技大学)……))xx+1/2x+1事件列单调下降趋于{X≤x},由概率的连续性知性质3成立.电子科技大学三、二维随机变量定义1.2.3如果X和Y是定义在同一概率空间(Ω,F,P)上的两个随机变量,称(X,Y)为二维随机变量(向量).如何准确理解“维”的含义?如何理解“定义在同一概率空间”?思考:电子科技大学有唯一(X(ω),Y(ω))与之对应.ωΩx=X(ω)y=Y(ω)(X,Y)是概率空间(Ω,F,P)上的随机向量.电子科技大学Ex.1随机试验E:检查n个学生的健康情况，{i}表示抽检到第i
3、名学生，记样本空间为对于样本点可定义身高：体重：身高X与体重Y构成定义在(Ω,F)上的二维随机变量(X,Y).EX.2先抛一枚均匀硬币,再掷一颗均匀硬币骰子试验的样本空间为电子科技大学Ω=Ω1×Ω2={(ω1,ω2),ωi∈Ωii=1,2}对ω=(ω1,i)∈Ω,ω1=H,T,i=1,2,…,6.定义二维随机变量(X(ω),Y(ω))=ω1=T，ω2=i；ω1=H，ω2=i；电子科技大学定义1.2.4设(X,Y)是定义在(Ω,F,P)上的随机向量,对称为(X,Y)的联合分布函数.注:由(X,Y)的分布可确定X,Y各自的分布,反之不行.电子科技大学1)F(x,y)分别对x和y单调不降；2)F(
4、x,y)对每个变元右连续；定理1.2.1若F(x,y)是联合分布函数,则有电子科技大学注1)此定理的逆成立；2)可以推广到任意有限维的情形；3)分布函数与概率空间(Ω,F,P)的概率一一对应.电子科技大学四、条件分布定义1.2.5设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，记若极限存在，称为在X=x的条件下,随机变量Y的条件分布函数.电子科技大学需满足对注离散型随机变量(X,Y),在y=yk条件下X的条件分布函数为电子科技大学称为在y=yk条件下X的条件分布律.电子科技大学P{X=i，Y=j}=p2(1－p)j－2,(1≤i＜j＝2,3,…)解12…i…j例3.某射手进行射击，击中目标两次则停
5、止射击,每次的命中率为p(0＜p＜1),令X表示第一次命中目标时的射击次数，令Y表示第二次命中目标时的射击次数，求条件分布律电子科技大学当j＝2,3,…时，条件分布律存在电子科技大学连续型(X,Y),有为在X=x条件下,随机变量Y的条件密度函数.电子科技大学例4设随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布试求fX
6、Y(x
7、y)和fY
8、X(y
9、x).解：xy1120x＋—=12yf(x,y)的非零区域电子科技大学xy1120x＋—=12yf(x,y)的非零区域电子科技大学当0＜x＜1时xy1120x＋—=12yf(x,y)的非零区域当
10、y
11、＜2时电子科技大学Ex.4已知X～,给定X=x的条件下,Y的
12、条件分布为,求Y的分布及给定Y=y的条件下X的条件分布.解已知电子科技大学电子科技大学五、随机向量的独立性定义1.2.6设(X,Y)是二维随机变量,对成立,称X与Y相互独立.电子科技大学本质上是事件的独立,(X,Y)定义在(Ω,F,P)上,对随机事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立.注对所有(x,y)∈R2成立.定义1.2.6(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量,若对任意（x1,x2,…,xn）,有电子科技大学定理1.2.2若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个随机变量也相互独立.成立,称随机向量X1,X2,…,Xn相互独立.定理1.2.3设有n1+n2+…+n
13、k维随机变量电子科技大学若ψi是ni元实变实值连续函数,令有1)Y1,Y2,…,Yk必为同一概率空间的随机变量;相互独立,则Y1,Y2,…,Yk也相互独立.
