结构可靠度例题.docx

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1、例题一某钢桥一受弯构件截面抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩)的统计参数为均值µR=2.34×103kN•mµS=1.16×103kN•m方差σR=0.281×103kN•mσS=0.255×103kN•m现假设R,S均服从正态分布,试求其可靠指标和对应的失效概率。解:将已知数据代入β=µR-µSσR2+σS2=2.34×103-1.16×103(0.281×103)2+(0.255×103)2=3.109查标准正态分布表Ф(3.109)=0.99905，Pf=Ф(-β)=1-Ф(β)=1-Ф(3.109)=1-0.99905=0.00095。例题二某钢桥一受弯构件截面

2、抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩)的统计参数为均值µR=2.34×103kN•mµS=1.16×103kN•m方差σR=0.281×103kN•mσS=0.255×103kN•m现假设R,S均服从对数正态分布,试求其可靠指标β和对应的失效概率Pf。解：β≈lnµR-lnµSδR2+δS2δR=σRµR=0.2812.34=0.12δS=σSµS=0.2551.16=0.22β≈lnµR-lnµSδR2+δS2=β≈ln⁡(2.34×103)-ln⁡(1.16×103)0.122+0.222=2.80Pf=Ф(-β)=1-Ф(β)=1-Ф(2.80)=1-0.99740

3、=0.0026。例一和例二表明：随即变量分布类型，对失效概率或结构可靠指标计算是有影响的。分析结果表明：Pf≥10-3(β≤3.09)时，Fz(z)的分布类型对Pf的影响不敏感，即Z假设什么样的分布,计算出的Pf都在同一数量级上，其精度足够了。Pf大时，Z可以不考虑其实际分布形式，采用合理又方便的分布形式来计算Pf。这样计算简便，得到工程上接受的结果。但Pf＜10-5(β＞4.26)时Fz(z)的分布类型对Pf的影响十分敏感，计算Pf时必须考虑起分布,否则得到误差大或得到错误结果。例题三若钢梁承受的确定性弯矩M=210kN•m，钢梁的抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量，已知其分

4、布类型和统计参数为抵抗矩W：正态分布，µW=692cm3，δW=0.02屈服强度f：正态分布，µf=390MPa，δf=0.07用中心点法和验算点法计算该钢梁的可靠指标β及f和W的验算点之值f﹡和W﹡。解：1中心点法(1)采用抗力作为功能函数Z=fW-M=fW-210kN•mµZ=µfµW-µM=µfµW-210=59.88kN•mσZ=(µfσW)2+(µWσf)2=µf2µW2(δW2+δf2)=(390×)2(0.022+0.072)=19.65×106N•mmβ=µZσZ=3.047(1)采用应力作为功能函数Z=f-MWµZ≈µf-MµW=86.5MPaσZ=(σf)

5、2+(MµW2σW)2=(µfδf)2+(MµWδW)2=(390×0.07)2+(210××103×0.02)2=27.97MPaβ=µZσZ=3.0932验算点法验算点法计算步骤:(1)列出极限状态方程g(X1，X2，…，Xn)=0,并给出所有基本变量Xi的分布类型和统计参数µxi和σxi；(2)假定Xi﹡和β的初始值，一般取Xi﹡的初始值为Xi的均值µxi，相当于β初始值为0；(3)求极限状态方程对各基本变量Xi的偏导数，并用Xi﹡的值代入，得到方向余弦cosθXi=-∂g∂xi∣p﹡•σxi1n(∂g∂xi∣p﹡•σxi)2(4)按公式g(µXi+βσXicosθXi

6、^)=0求解β；(5)计算新的Xi﹡值Xi﹡=µXi+βσXicosθXi^重复第3步到第5步计算，直到前后两次计算的β在容许误差范围内(0.001)。按抗力列功能函数极限状态方程Z=g(f,W)=fW-210×106(N•mm)σf=µfδf=390×0.07=27.30MPaσw=µwδw=692×0.02=13.84MPa由g(X1﹡，X2﹡，…，Xn﹡)=0(P﹡验算点处坐标)Xi﹡=µi+Xi^﹡×σXi=µi+βσXicosθXi^-∂g∂f∣p﹡σf=-W﹡×27.30，-∂g∂w∣p﹡σw=-f﹡×13.84，cosθf=-∂g∂f∣p﹡•σf(∂g∂f∣p﹡

7、•σf)2+(∂g∂w∣p﹡•σw)2=-27.3W﹡(27.3W﹡)2+(13.84f﹡)2(a)cosθw=-∂g∂w∣p﹡•σw(∂g∂f∣p﹡•σf)2+(∂g∂w∣p﹡•σw)2=-13.84f﹡(27.3W﹡)2+(13.84f﹡)2(b)f﹡=µf+βσfcosθf=390+27.3βcosθf(c)W﹡=µw+βσwcosθw=692+13.84βcosθw(d)由Z=g(f﹡,W﹡)=f﹡•W﹡-(N•m)将(c)，(d)代入简化后得：β2cosθfcosθw+β(50cosθf+14