人教版高二上学期数学期末考试题.docx

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2019年01月07日王老师的高中数学组卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共12小题）1．“m≥2”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．长轴长为8，以抛物线y2＝12x的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（　　）A．B．C．D．3．已知双曲线E：（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y＝±2x，则E的离心率为（　　）A．5B．C．D．4．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（　　）A．＜，σ甲＜σ乙B．＜，σ甲＞σ乙C．＞，σ甲＜σ乙D．＞，σ甲＞σ乙5．已知方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）A．m＞2或m＜﹣1B．m＞﹣2第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C．﹣1＜m＜2D．m＞2或﹣2＜m＜﹣16．若角O终边上的点A（﹣，a）在抛物线x2＝﹣4y的准线上，则cos2θ＝（　　）A．B．C．﹣D．﹣7．把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是（　　）A．不可能事件B．对立事件C．互斥但不对立事件D．以上都不对8．根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程＝0.7x+0.35，则实数m，n应满足（　　）x3m56y2.534nA．n﹣0.7m＝1.7B．n﹣0.7m＝1.5C．n+0.7m＝1.7D．n+0.7m＝1.59．胡萝卜中含有大量的β﹣胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素A，现从a，b两个品种的胡萝卜所含的β﹣胡萝卜素（单位：mg）得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是（　　）A．＜B．a的方差大于b的方差C．b品种的众数为3.31D．a品种的中位数为3.2710．如图，在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足＝2，＝，点G是线段MN的中点，用向量，，表示向量应为（　　）A．＝++B．＝﹣+C．＝﹣﹣D．＝+﹣11．已知点E是抛物线C：y2＝2px（P＞0）的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin∠EFP＝μ•sin∠FEP，则μ的最大值为（　　）A．B．C．D．12．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AD＝AA1＝2，AB＝3，E是线段AB上一点，且AE＝AB，F是BC中点，则D1C与平面D1EF所成的角的正弦值为（　　）第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A．B．C．D．第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共4小题）13．命题“”的否定为　　．14．已知双曲线C的方程为（a＞0），过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则△ABF的面积为　　．15．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于　　．16．已知F1、F2分别是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与E交于P、Q两点，若|PF2|＝2|QF2|，且|QF1|＝3|QF2|，则椭圆E的离心率为　　．评卷人得分三．解答题（共6小题）17．已知双曲线的方程是4x2﹣9y2＝36．（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝16，求∠F1PF2的大小．18．已知命题；命题q：x∈B，B＝{x|﹣1﹣a＜x＜﹣1+a，a＞0}．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．记关于x的不等式＜0的解集为P，函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]的值域为Q．（1）若a＝3，求P；（2）若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，求正数a的取值范围．20．4月7日是世界健康日，成都某运动器材与服饰销售公司为了制定销售策略，在成都市随机抽取了40名市民对其每天的锻炼时间进行调查，锻炼时间均在20分钟至140分钟之间，根据调查结果绘制的锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算人们锻炼时间的中位数；第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（Ⅱ）在抽取的40人中从锻炼时间在[20，60]的人中任选2人，求恰好一人锻炼时间在[20，40]的概率．21．设有三点A，B，P，其中点A，P在椭圆C：上，A（0，2），B（2，0），且．（1）求椭圆C的方程；（2）若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°，直线l与椭圆C相交于E、F，求三角形OEF的面积．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率与双曲线﹣＝1的离心率互为倒数，且过点P（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆（x﹣1）2+y2＝r2（0）相切且分别交椭圆于M、N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2019年01月07日王老师的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．“m≥2”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】首先找出x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立⇔△≤0⇔m≥1，∵m≥2⇒m≥1，m≥1推不出m≥2，∴“m≥2”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件．故选：A．2．长轴长为8，以抛物线y2＝12x的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（　　）A．B．C．D．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆的长轴，求出b，即可得到椭圆方程．【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点（3，0），长轴长为8，所以椭圆的长半轴为：4，半焦距为3，则b＝＝．所以所求的椭圆的方程为：．故选：D．3．已知双曲线E：（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y＝±2x，则E的离心率为（　　）A．5B．C．D．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，∴，即b＝2a，∴，∴离心率e＝．第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………故选：D．4．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（　　）A．＜，σ甲＜σ乙B．＜，σ甲＞σ乙C．＞，σ甲＜σ乙D．＞，σ甲＞σ乙【分析】利用折线图的性质直接求解．【解答】解：甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，由折线图得：＞，σ甲＜σ乙，故选：C．5．若角O终边上的点A（﹣，a）在抛物线x2＝﹣4y的准线上，则cos2θ＝（　　）A．B．C．﹣D．﹣【分析】求出抛物线的准线方程，可得a＝1，再由任意角的三角函数的定义，即可求得结论．【解答】解：抛物线x2＝﹣4y的准线为y＝1，即有a＝1，点A（﹣，1），由任意角的三角函数的定义，可得sinθ＝，cosθ＝﹣，∴cos2θ＝＝．故选：A．6．把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是（　　）A．不可能事件B．对立事件第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C．互斥但不对立事件D．以上都不对【分析】根据题意，把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”之外，还有“丙分得蓝牌”和“丁分得蓝牌”，事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是互斥而不对立的事件．【解答】解：根据题意，把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”之外，还有“丙分得蓝牌”和“丁分得蓝牌”，∴两者不是对立的，∴事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是互斥而不对立的事件．故选：C．7．根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程＝0.7x+0.35，则实数m，n应满足（　　）x3m56y2.534nA．n﹣0.7m＝1.7B．n﹣0.7m＝1.5C．n+0.7m＝1.7D．n+0.7m＝1.5【分析】分别求出x，y的平均数，代入回归方程，求出n﹣0.7m的值即可．【解答】解：由题意：＝（3+m+5+6）＝（14+m），＝（2.5+3+4+n）＝（9.5+n），故（9.5+n）＝0.7×（14+m）+0.35，解得：n﹣0.7m＝1.7，故选：A．8．如图，在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足＝2，＝，点G是线段MN的中点，用向量，，表示向量应为（　　）A．＝++B．＝﹣+C．＝﹣﹣D．＝+﹣第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】利用空间向量加法法则直接求解．【解答】解：∵在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足＝2，＝，点G是线段MN的中点，∴＝＝+＝+（）＝+[+（）]＝++（）+（）＝++．故选：A．9．已知点E是抛物线C：y2＝2px（P＞0）的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin∠EFP＝μ•sin∠FEP，则μ的最大值为（　　）A．B．C．D．【分析】设PE的倾斜角为α，则cosα＝，当μ取得最大值时，cosα最小，此时直线PM与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，△＝0，求得k的值，即可求得λ的最大值．【解答】解：过P（x轴上方）作准线的垂线，垂足为H，则由抛物线的定义可得|PF|＝|PH|，由sin∠EFP＝μ•sin∠FEP，则△PFE中由正弦定理可知：则|PE|＝μ|PF|，∴|PE|＝μ|PH|，设PE的倾斜角为α，则cosα＝，当μ取得最大值时，cosα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为x＝ty﹣，则，第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………即y2﹣2pty+p2＝0，∴△＝4p2t2﹣4p2＝0，∴k＝1，即tanα＝1，则cos，则μ的最大值为，故选：C．10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AD＝AA1＝2，AB＝3，E是线段AB上一点，且AE＝AB，F是BC中点，则D1C与平面D1EF所成的角的正弦值为（　　）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出D1C与平面D1EF所成的角的正弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AD＝AA1＝2，AB＝3，E是线段AB上一点，且AE＝AB，F是BC中点，∴D1（0，0，2），C（0，3，0），E（2，1，0），F（1，3，0），＝（0，3，﹣2），＝（2，1，﹣2），＝（1，3，﹣2），设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（2，1，），设D1C与平面D1EF所成的角为θ，则D1C与平面D1EF所成的角的正弦值sinθ＝＝＝．故选：A．11．胡萝卜中含有大量的β﹣胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A，现从a，b两个品种的胡萝卜所含的β﹣胡萝卜素（单位：mg）得到茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（　ABC　）A．＜B．a的方差大于b的方差C．b品种的众数为3.31D．a品种的中位数为3.27【分析】利用茎叶图的性质求出a，b两组数据的平均数、方差、众数、中位数，由此能求出结果．【解答】解：由茎叶图得：b品种所含β﹣胡萝卜素普遍高于a品种，∴＜，故A正确；a品种的数据波动比b品种的数据波动大，∴a的方差大于b的方差，故B正确；b品种的众数为3.31与3.41，故C错误；a品种的数据的中位数为：＝3.27，故ABC正确．12．已知方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　BD）A．m＞2或m＜﹣1B．m＞2C．﹣1＜m＜2D．﹣2＜m＜﹣1【分析】先根据椭圆的焦点在x轴上m2＞2+m，同时根据2+m＞0，两个范围取交集即可得出答案．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选：D．13．已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x，给出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ab　　）A.函数f（x）的最小正周期是π；第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………B函数f（x）在区间[]上是减函数；C函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；D函数f（x）的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位再向下平移1个单位得到．【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断①的正误；利用函数的单调性判断②的正误；利用函数y＝sinx的中心判断③的正误；函数的图象的变换判断④的正误；【解答】解：f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1﹣1＝sin2x+cos2x﹣1＝sin（2x+）﹣1．A因为ω＝2，则f（x）的最小正周期T＝π，结论正确．B当x∈[]时，2x+∈[，]，则sinx在[]上是减函数，结论正确．C因为f（﹣）＝﹣1，则函数f（x）图象的一个对称中心为（﹣，﹣1），结论不正确．D函数f（x）的图象可由函数y＝sin2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．故正确结论有AC，二．填空题（共4小题）14．命题“”的否定为　∃x0＞0，﹣lnx0＞0　．【分析】全称命题的否定为特称命题，注意量词的变化和否定词的变化．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题”的否定为为“∃x0＞0，﹣lnx0＞0”故答案为：∃x0＞0，﹣lnx0＞015．已知双曲线C的方程为（a＞0），过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则△ABF的面积为　9　．【分析】利用双曲线的简单性质结合三角形的面积，转化求解即可．第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解答】解：双曲线C的方程为（a＞0），过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，AF＝m，BF＝n，可得m+n＝2a，m2+n2＝4c2，可得：m2+n2+2mn＝4a2，可得：mn＝c2﹣a2＝b2＝9，故答案为：9．16．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于　　．【分析】从中一次摸出2个球，基本事件总数n＝＝10，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数m＝＝6，由此能求出摸出1个黑球和1个白球的概率．【解答】解：∵袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，基本事件总数n＝＝10，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数m＝＝6，∴摸出1个黑球和1个白球的概率p＝．故答案为：．17．已知F1、F2分别是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与E交于P、Q两点，若|PF2|＝2|QF2|，且|QF1|＝3|QF2|，则椭圆E的离心率为　　．【分析】由题意画出图形，由已知结合椭圆定义可得：|PF2|＝a﹣ex1，|QF2|＝a﹣ex2，再由焦半径公式求得P，Q的坐标，再把线段长度比转化为横坐标差的比值求解．【解答】解：如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由|QF1|＝3|QF2|，且|QF1|+|QF2|＝2a，得4|QF2|＝2a，则|QF2|＝，又|PF2|＝2|QF2|，∴|PF2|＝a，第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………由焦半径公式得：|PF2|＝a﹣ex1，|QF2|＝a﹣ex2，则a﹣ex1＝a，a﹣ex2＝，∴，可得c＝2•，∴e＝．故答案为：．三．解答题（共6小题）18．已知双曲线的方程是4x2﹣9y2＝36．（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝16，求∠F1PF2的大小．【分析】（1）化简双曲线方程为标准方程，然后求解焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）通过双曲线的定义以及余弦定理转化求解即可．【解答】解：（1）解：由4x2﹣9y2＝36得，所以a＝3，b＝2，，所以焦点坐标，，离心率，渐近线方程为．（2）解：由双曲线的定义可知||PF1|﹣|PF2||＝6，∴＝＝，则∠F1PF2＝60°．19．已知命题；命题q：x∈B，B＝{x|﹣1﹣a＜x＜﹣1+a，a＞0}．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】命题＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}．命题q：x∈B，B＝{x|﹣1﹣a＜x＜﹣1+a，a＞0}．根据p是q的必要不充分条件，即可得出．第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解答】解：命题＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}＝（﹣3，2）．命题q：x∈B，B＝{x|﹣1﹣a＜x＜﹣1+a，a＞0}．∵p是q的必要不充分条件，∴，解得0＜a≤2．∴实数a的取值范围是（0，2]．20．记关于x的不等式＜0的解集为P，函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]的值域为Q．（1）若a＝3，求P；（2）若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，求正数a的取值范围．【分析】（1）a＝3时，P＝{x|＜0}，由此能求出结果．（2）求出Q＝{x|0≤x≤2}，p＝{x|＜0}，由此利用x∈P是x∈Q的必要不充分条件，能求出正数a的取值范围．【解答】解：（1）x的不等式＜0的解集为P，a＝3时，P＝{x|＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}．（2）∵函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]的值域为Q．Q＝{x|0≤x≤2}，p＝{x|＜0}，x∈P是x∈Q的必要不充分条件，∴正数a的取值范围是（2，+∞）．21．4月7日是世界健康日，成都某运动器材与服饰销售公司为了制定销售策略，在成都市随机抽取了40名市民对其每天的锻炼时间进行调查，锻炼时间均在20分钟至140分钟之间，根据调查结果绘制的锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算人们锻炼时间的中位数；（Ⅱ）在抽取的40人中从锻炼时间在[20，60]的人中任选2人，求恰好一人锻炼时间在[20，40]的概率．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图得锻炼时间在[20，40）的频率为0.05，锻炼时间在[40，60）的频率为0.15，锻炼时间在[60，80）的频率为0.4，由此能求出人们锻炼时间的中位数．（Ⅱ）由频率分布直方图得锻炼时间在[20，40）的人数为2，设这2人为x1，x2第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………，锻炼时间在[40，60）的人数为6，设这6人为y1，y2，y3，y4，y5，y6，从这8人中任取2人，利用列举法能求出恰好一人锻炼时间在[20，40]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得锻炼时间在[20，40）的频率为0.0025×20＝0.05，锻炼时间在[40，60）的频率为0.0075×20＝0.15，锻炼时间在[60，80）的频率为0.0200×20＝0.4，∴锻炼时间的中位数在[60，80）内，设中位数为x，则0.05+0.15+（x﹣60）×0.02＝0.5，解得x＝75，∴人们锻炼时间的中位数为75分钟．（Ⅱ）由频率分布直方图得锻炼时间在[20，40）的人数为0.0025×20×40＝2，设这2人为x1，x2，锻炼时间在[40，60）的人数为0.0075×20×40＝6，设这6人为y1，y2，y3，y4，y5，y6，从这8人中任取2人的不同取法有：（x1，x2），（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x1，y4），（x1，y5），（x1，y6），（x2，y1），（x2，y2），（x2，y3），（x2，y4），（x2，y5），（x2，y6），（y1，y2），（y1，y3），（y1，y4），（y1，y5），（y1，y6），（y2，y3），（y2，y4），（y2，y5），（y2，y6），（y3，y4），（y3，y5），（y3，y6），（y4，y5），（y4，y6），（y5，y6），其中恰有1人锻炼时间在[20，40）内的不同取法有12种，∴恰好一人锻炼时间在[20，40]的概率p＝．22．设有三点A，B，P，其中点A，P在椭圆C：上，A（0，2），B（2，0），且．（1）求椭圆C的方程；（2）若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°，直线l与椭圆C相交于E、F，求三角形OEF的面积．【分析】（1）由已知求得b，设P（x，y），由向量等式求得P，再设椭圆方程为，把P的坐标代入椭圆方程求得a，则椭圆方程可求；（2）求出直线l的方程，与椭圆方程联立求得交点坐标，进一步求得EF的长度，再由点到直线距离公式求出O到直线l的距离，则三角形OEF的面积可求．【解答】解：（1）由题意知，b＝2，设P（x，y），A（0，2），B（2，0），第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………由，得（2，2）＝，则，设椭圆方程为，可得，即a2＝8．∴椭圆方程为；（2）c＝．∴直线l的方程为y＝x﹣2，代入椭圆方程，整理得：3x2﹣8x＝0，则x＝0或x＝．∴交点坐标为（0，﹣2）和（），∴|EF|＝，O到直线l的距离d＝．∴．23．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率与双曲线﹣＝1的离心率互为倒数，且过点P（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆（x﹣1）2+y2＝r2（0）相切且分别交椭圆于M、N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．【分析】（1）求得双曲线的离心率，可得椭圆的离心率，由离心率公式和P满足椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）①运用直线和圆相切的条件：d＝r，同时联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算可得定值；②设直线MN的方程为y＝x+m，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（1）双曲线﹣＝1的离心率为＝2，可得椭圆C的离心率为，设椭圆的半焦距为c，所以a＝2c，因为C过点P，所以+＝1，又c2＝a2﹣b2，解得a＝2，b＝，c＝1，第35页共26页◎第36页共26页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………所以椭圆方程为+＝1；（2）①证明：显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），由于直线l1，l2与圆（x﹣1）2+y2＝r2（0）相切，则有k1＝﹣k2，直线l1的方程为y﹣＝k1（x﹣1），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，消去y，得x2（3+4k12）+k1（12﹣8k1）x+（3﹣2k1）2﹣12＝0，因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x1+1＝，同理，当l2与椭圆相交时，x2+1＝，所以x1﹣x2＝，而y1﹣y2＝k1（x1+x2）﹣2k1＝﹣，所以直线MN的斜率k＝＝；②设直线MN的方程为y＝x+m，联立椭圆方程3x2+4y2＝12，消去y得x2+mx+m2﹣3＝0，所以|MN|＝•＝，原点O到直线的距离d＝，△OMN的面积为S＝••＝•≤•＝，当且仅当m2＝2时取得等号．经检验，存在r（0＜r＜）），使得过点P（1，）的两条直线与圆（x﹣1）2+y2＝r2相切，且与椭圆有两个交点M，N．所以△MNO面积的最大值为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布第35页共26页◎第36页共26页