组合专题：组合递推模型建立.doc

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1、组合专题：组合递推模型的建立梁久阳前言：递推模型是组合数学中一个独特的分支，它让人感觉既漂亮又神奇，将前一项与后一项之间难以言说的关系用一个简单的式子就能表现出来，可以说是十分奇妙。一．什么是递推递推关系的定义是：给定一个数的序列H(0),H(1),…,H(n),…若存在正整数n0，使得当n≥n0时，可以用等号(或小于，大于号)把H(n)和前面某些项H(i)，0≤i

2、们可以类似的方法对它们进行研究。利用递推关系和初值在某些情况下可以求出序列的通项表示式H(n)。但是对于大多数递推关系，目前还解不出H(n)的显式来，即使这样，对于给定的n也可以从初值开始，一步一步地计算出H(n)的值或者范围，而H(n)一般代表了某个组合计数问题的解，因此递推关系是组合计数的重要工具，同时也是算法分析的重要手段。我们需要研究的，只限于高中课本和竞赛书上的内容，其他的大学再说。二．经典例题分析（按类型划分）（1）an=p·an－1+q型【例1】某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿

3、灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第n次闭合后出现红灯的概率为Pn.(1)求：P2；(2)求证：Pn<(n≥2)；(3)求.解：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯.于是P2=P1·+(1－P1)·=.(2)受(1)的启发，研究开关第N次闭合后出现红灯的概率Pn，要考虑第n－1次闭合后出现绿灯的情况，有Pn=Pn－1·+(1－Pn－1)·=－Pn－1

4、+，再利用待定系数法：令Pn+x=－(Pn－1+x)整理可得x=－∴{Pn－}为首项为(P1－)、公比为(－)的等比数列Pn－=(P1－)(－)n－1=(－)n－1，Pn=+(－)n－1∴当n≥2时，Pn<+=(3)由(2)得=.【例2】A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A开始掷.设第n次由A掷的概率为Pn，(1)求Pn；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率.解：第n次由A掷有两种情况：①第n－1次由A掷，第n次继续由A掷，此

5、时概率为Pn－1；②第n－1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为(1－)(1－Pn－1).∵两种情形是互斥的∴Pn=Pn－1+(1－)(1－Pn－1)(n≥2)，即Pn=－Pn－1+(n≥2)∴Pn－=－(Pn－1－)，(n≥2)，又P1=1∴{Pn－}是以为首项，－为公比的等比数列.∴Pn－=(－)n－1，即Pn=+(－)n－1.⑵.（2）an+1=p·an+f(n)型【例3】(传球问题)A、B、C、D4人互相传球，由A开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到A手中，则不同的传球方式有多少种？若有n个人相互传球k次后又回到

6、发球人A手中的不同传球方式有多少种？分析：这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但若人数、次数较多时树形图法则力不从心，而建立递推数列模型则可深入问题本质.解：4人传球时，传球k次共有3k种传法.设第k次将球传给A的方法数共有ak(k∈N*)种传法，则不传给A的有3k－ak种，故a1=0，且不传给A的下次均可传给A，即ak+1=3k－ak。两边同除以3k+1得=－·+，令bk=，则b1=0，bk+1－=－(bk－)，则bk－=－(－)k－1∴ak=+(－1)k当k=5时，a5=60.当人数为n时，分别用n－1，n取代3，

7、4时，可得ak=+(－1)k.123nn-1……【例4】(环形区域染色问题)将一个圆环分成n(n∈N*，n≥3)个区域，用m(m≥3)种颜色给这n个区域染色，要求相邻区域不使用同一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种？解：设an表示n个区域染色的方案数，则1区有m种染法，2区有m－1种染法，3，……，n－1，n区各有m－1种染色方法，依乘法原理共有m(m－1)n－1种染法，但是，这些染中包含了n区可能和1区染上相同的颜色.而n区与1区相同时，就是n－1个区域涂上m种颜色合乎条件的方法.∴an=m(m－1)n－1－an

8、－1，且a3=m(m－1)(m－2)an－(m－1)n=－[an－1－(m－1)n－1]123456123456an－(m－1)n=[a3－(m－1)3](－1)n－3∴an=(m－1)n+(m－1)(－1)n(n≥3