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1、计算固体力学作业（第十章）10.1导出矩形非协调板单元矩阵（10.2.11）式的显示表达式。解：−1ee已知wP==CaNa，其中N=[NNNN]，ξ＝（x−x)/a，η=(y−y)/b1234ccNi:=1⎡()ξξ+1(ηη+1()2+ξξ+ηη−ξ2−η2)⎢⎢8iiii,⎣1212⎤bη()ξξ+1(ηη+1)()ηη−1,−aξ()ξξ−1(ξξ+1)()ηη+1⎥⎥8iiii8iiii⎦即：⎛⎞∂2⎜⎟−⎡⎤2⎜⎟∂x⎢10υ⎥3⎜⎟∂2⎢⎥Et又，BL==N⎜⎟−2(,,,,)NNNN1234，DD=0⎢υ10⎥,D0=2,⎜⎟∂y⎢−⎥12(1−ν)
2、1υ⎜⎟∂2⎢00⎥⎜⎟−2⎣2⎦⎜⎟⎝⎠∂∂xyabDeT0K==∫∫BDBdxdy×−−ab30ab1⎡+m1⎤⎢⎥++mm对称⎢42⎥⎢−−+mmm⎥563⎢⎥⎢++++mmmm710111⎥⎢+++++mm0mm⎥10842⎢⎥⎢−++mm1109m563++mm⎥⎢⎥+−+mmmmmmm−+⎢1215161720211⎥⎢+++mm00mm+−+mm⎥1513201842⎢⎥−++mm00mm++m−+mm⎢16142119563⎥⎢+−−+−−mmmmmmmmmm−−+⎥172021121516710111⎢⎥⎢++++mm00mm+−mmm0−+m⎥2
3、018151311842⎢⎥⎢⎣−++mm000mm++mm+−mm+m⎥⎦2119161411956322ba2222mm=−+216νν30+30,=−+8(1)b40a,m=−+8(1ν)a40b12223ab22abmbb=++3123ν0,maa=+3123νν+0,m=30ab45622ba22ba2222mm=−+216νν−30+15,=−8(1−)b+20a,m=−2(1−ν)a+20b78229ab2222abbambb=−−312ννν+15,maa=3−3+30,m=216−−15−151022111222baab22222amb=−+2(1
4、ννν)10a,ma=−+2(1)10b,m=−++3b3b151314152b222bba22maa=−+33νν+15,m=−+216+15−30,m=−2(1−ν)ba+20162217218aab2222abma=−−8(1)2ννν+0,bm=−+333bbm0,=−−31a21a+519202221ba10.2如果三角形板单元的位移函数是223223ω＝α+αx+αy+αx+αxy+αy+αx+α(xy+xy)+αy123456789验证当单元的两条边分别平行于坐标轴且长度相等时，决定参数α，α，···，α的代129数方程组的系数矩阵是奇异的。解：设三个
5、节点坐标分别为(x,y)，(,)xy，(,)xy，并代入以下各式：1122332223223waaxayax=++++axyay++ax+axyxy()++ayi12i3i4i5ii6i7i8iiii9i∂w22()==θaaxayax+++++2(2xyay)3ixi35iiii68ii9∂y∂w22−==()θ−aa−−−−2xaya3xax(2yy+)iyi245ii78iiii∂xe将上列方程组表示成矩阵形式：Caα=，其中C的表达式如下：此时，C矩阵的秩为9。当三角形板单元的两条边分别平行于坐标轴且长度相等时，即：x===xyyyxxy,,−+，此时，C矩
6、阵变为：13213211此时C矩阵的秩变为8，即C是奇异的。310.3利用单元位移函数的完备性确定（10.2.19）式的常数C的数值。解：因为LLL,,的线性组合表示单元的刚体位移，所以在常应变情况下可以去掉123（10.2.19）式中的αLLL++αα，即为：11223322αα(LLCLLL++)........++=++(LLCLLL)αLLαLLαLL421123913123112223331整理左边的式子，得到：[α(L+CL)+αα(L++CL)]LL[(L+CL)+αα(L++CL)]LL[(L+CL)4236131253281213731++αα()
7、LCLLL]=++LLαLLLLα92123112223331所以，α()LC+++=Lαα()LCL4236131再将各个节点的坐标(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)代入上式，从而得到：1CC()αααα+==⇒=4646210.4有一四边固支的方形薄板，取其1/4用8结点Mindlin板单元进行分析，用减缩积分方法时4×4网格仍发生剪切锁死（如图10.12所示），而采用假设剪切应变方法时，仅用3×3网格也未发生剪切锁死（如图10.15所示），试用K奇异性的充分条件（10.4.13）式加以验s证。解：采用减缩积分法时，Mnd=××=1642128,
