有限单元法王勖成课后习题答案13.pdf

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1、计算力学作业第13章力92方楠991788计算力学（2）作业第13章清华大学工程力学系力92方楠99178813.2用加权余量的伽辽金法导出轴对称瞬态热传导问题3节点三角形单元的有限元格式。解：轴对称瞬态问题，在柱坐标系中，我们有：∂∂φφ∂∂∂φ微分方程：ρρcr−kr−kr−rQ=0,（在Ω内）。rz∂∂tr∂r∂z∂z边界条件是：φφ=(,Γt)（在Γ边界上）。1∂∂φφkn+kn=q(,Γt)（在Γ边界上）。rrzz2∂∂rz∂∂φφkn+=knh(φ−φ)（在Γ边界上）。rrzza3∂∂rz可以仿照二维问题建立有限元格式

2、，最终得到的方程为：∂∂NN∂∂NNjje∑∑∫∫krrz+Ωkrφρd−rQNjdΩ−eeΩΩe∂∂rr∂z∂zee∑∑∫∫ΓΓeeNqjjdΓ−NhφφadΓ+∑∫ΓeNhjNdΓ=0,(j=1,2...n)ee23e3•最终整理得到：CKφφ+=PeCCij==∑∑ij∫eρcrNiNjdΩ；ΩeeeeKKij=+∑∑ijHijee；∂∂NN∂∂NNiijj=+∑∑∫∫ΩΓkrrzkrdΩ+ehNiNjdΓeee∂∂rr∂∂zz3eeePPiQ=+∑∑iiPq+

3、∑PHieee；=Ω∑∑∫∫ρφrQNdii+eeNqdΓ+∑∫NihadΤΩΓe23Γeee1轴对称问题的插值函数：Na=+(br+cz),(i,j,m)；带入上面的式子：iiii2AeρcrCij==∫∫ΩΩeeρθcrNiNj2()ai+bir+ciz()aj+bjr+cjzrddrdz4A；仿照三结点环状单元πρc2=+2∫Ωera()iibr+ciz()aj+bjr+cjzdrdz2A第1页共1页计算力学作业第13章力92方楠99178811令rr≈=()rr++r,z≈z=(z+z+z)，则上述矩阵变成常数矩阵，可以积分。ijmijm33(

4、)ai++birciz()ai++birciz()aii+brc+iza(j+bjr+cjz)(aii++brciz)(am+bmr+cmz)eπρcrC=+()ajjbr+cjz()aj+bjr+cjz()ajj+br+cjz()am+bmr+cmz2ASymmetric()amm++brcmz()am+bmr+cmz2ebciibcjj2ππ2rKkij=+∫∫ΩΩrrkzrdΩ=2()krbibj+kzcijcrdrdz=()krbibj+kzcijce22AA22AA4Ae2A()krbibi++kzcc

5、ii()kribbjkzccij()kribbm+kzccim2eπr因此K=+()krjbbjkcczjj(krjbbm+kczjcm)2ASymmetric()krmbbm+kzcmcm210ee面积坐标hAehAe1Hhij=∫ΓeNiNjdΓ→=HijL,Hii=L，Hh=L1203636000ePr=ΩρQNd+NqdΓ+NhφdΓ也可以按照以上的表示出来。ii∫∫ΩΓei∫Γeiae23e1ea1ePq=L，P=hφL，Pr=ρQNr2πdrdz（这个具体的就不计算了）。qiHiQi∫Ωi22e

6、•将以上的组合成CKφφ+=P即为本问题的解。13.3导出求解瞬态热传导问题的数值积分方法的三点循环公式（13.3.48）解：如图所示：t积分区域选择从－1到1，现在令ξξ=,1−≤≤1，∆t则分成两部分考虑：⋅1⋅1NNn−1=−ξξ,,n−1=−(−1≤≤0)NNn=−1,ξξn=−,(0≤≤1)∆t∆t，⋅1⋅1NNn=+1,ξξn=,(−1≤≤0)NNn+1=ξξ,,n+1=≤(0≤1)∆t∆t第2页共2页计算力学作业第13章力92方楠991788单元内φ由三个结点值确定：⋅⋅⋅⋅φ=+NNnn−−11φφnn+Nn+1φn+1，导数：φ=+NN

7、nn−+11φφnn−11+Nnφn+。•建立典型的加权余量格式：对于矩阵方程：CKφφ+=P0⋅⋅1⋅⋅∫∫−1wCNnn−1φnn−−11++NφφK()Nnn−1+Nnφn−Pdξ+0wCNn+1φn+1+Nnφn+K(Nn+1φn+1+Nnφn)−Pdξ分别计算之：并且有w=Nn0⋅⋅011∫∫−1wCNnn−1φnn−−11+Nφ+K()Nnφn−1+Nnφndξ=−1(1+−+ξ)Cφn−1φn−1φn+K()(−ξφ)n−1+(1+ξφ)ndξ∆∆

8、tt0+11ξξ+2CKCK=−CK−ξξ(1+)