王勖成线性代数《有限单元法》1-5章课后习题答案

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1、习题1.2：在用有限元法求解时，边界条件总是满足的，控制方程的不完全匹配，会产生误差。题中所23给出的近似函数：φ=+++aaxaxax，应该满足边界条件，对于情况（1），代入边012321−−aLaL12界条件可得aa=0,=，从而033L333x2xxφ=−+−+ax()(ax)（1）1223LLL3x上式中的最后一项前面没有待定系数，这是由于使用了在x=L处φ=1的强制边界条件。3L从物理意义上说，相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将（1）式代入教材（1.2.26）式，得到

2、残量：x66xxRxa()=−+−++(6)a(2)Qx()1223LLL不同的求解方法，如配点法、子域法和伽辽金法，只是残量在某种意义上某个区域加权积分为零。配点法强制残量R(x)在有限个点严格为零，点的个数取决于未知数个数，这里为2，通常取所选的点在域内均匀分布，则取x=L/3和x=2L/3处，R(x)=0,这样得到LL2RR()0=,()0=，从而可以解出待定系数aa,。带入（1）式可以得到φ。1233配点法仅考虑了有限个点的局部特性，子域法则要求在有限个子域Ω内残量的积分i∫Rxdx()=0为

3、零，子域的个数仍然取决于未知函数个数，通常选取各子域的并集为整个Ωi待求区域，一般情况可以选择各子域大小相同，但对于某些局部变化较复杂的区域，可以缩小子域的大小，使得子域分布更合理。例如取子域为Ω={

4、0x≤≤xL/2},Ω={

5、/2xL≤≤xL}，则利用Rxdx()=0,Rxdx()=0，12∫∫ΩΩ12可以求出待定系数aa,。12伽辽金法作为加权余量法的特殊形式，权函数选择为插值函数NN,，1233xx2这里Nxx()=−=,()Nxx−，这样，利用NxRxdx()()=0,1,2i=可以求出待1

6、22∫iLLΩ定系数aa,。12对于其余边界条件情况可依此类推。练习题1.4，注意近似函数要满足边界条件，从而可知截面及坐标系如图所示：，很多同学把积分区域弄错了，也有不少同学计算错误。这里，由于边界为零，采用泛函及其弱形式得到的积分结果是相同的。最终计算得444到：a1=4608/(13π),a2=-512/(15π),a3=-1536/(85π)。练习题1.5，泛函的欧拉方程基本没太多问题，泛函为零得到边界条件：L23dwdwdwδδ−=w023dxdxdx02LEId

7、w22kw1.5如有一问题的泛函为Π=()w++qwdx，其中E,I,k是常数，q∫022dx2是给定函数，w是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件.22LdwdwδΠ=()wEIδ+kwwqwdxδδ+∫0dx22dxL2223LLdwdwδδδdwdw()dwdw()EIdx=EI−EIdx∫∫00dx22dxdx2dxdx3dx0LL234dwdw()δdwLdw=EI−+EIδδwEIwdxdx234dx

8、dx∫0dx00224LLdwdwdwδΠ=()wEIδ+kwwqwdxδδ+=EI++kwqδwdx∫∫00dx22dxdx4LL23dwdw()δdw+−EIEIδw23dxdxdx004dw微分方程：EI++=kwq04dx2233dwdwdwdw边界条件：==0，==02233dxdxdxdxx=0xL=x=0xL=分强制边界和自然边界。补充题试作加权余量发的最小二乘配点法，并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。（最小二乘配点法思路是，利用使

9、求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件，去建立求解试函数系数的方程。配点法是强迫余量误差在所选点上为0，最小二乘配点法则是余量在所选点上的误差，满足平方和最小。）解：近似函数为ux()=Nxa()，不失一般性ii余量为：RxAufxANxa()=−=()()(())−fx()最小二乘配点法取权函数ii∂w=ANa()(δxx−≥)其中j=1,...,n;k=1,...,m且mnjiik∂aj加权余量要求wRdΩ=0∫jΩ∂TwRdΩ=ANxa(())(δxxANxa

10、−)[(())−fxd()]Ω∫∫jiikiiΩΩ∂ajT=ANx(())(δxxANxa−)[(())−Ωfxd()]∫jkiiΩmT=∑{ANx(())[(())()]jkANxaiki−fxk}k=1mmTT=∑∑ANANa()()jii−ANf()jkk=11==Ka-P()写成矩阵形式mT因此，kij=∑ANAN()()ji=kji，系数矩阵对称，且无需积分。k=1复习题1.7自然边界条件强制