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1、第6章常微分方程对自然界的深刻研究－－－－傅里叶微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系,却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系,从而得到一个分的方程,即微分方程.通过求解这种方程,同样可以找到指定未知量之间的函数关系.因此,微分方程是数学联关于未知函数的导数或微是数学最富饶的源泉.系实际,并应用于实际并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”,那么微分方程就是显
2、示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题.例如,物体的冷却、琴弦的震动、电磁波的传播等,都可以归结为微分方程的问题.人口的增长、微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论体系.本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念,种常用的微分方程的求解方法,线性微分方程解的理论.几这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.解一、问题的提出6.1微分方程的基本概念解代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未
3、知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏常微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的
4、图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,解所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)例5求曲线族满足的微分方程,其中为任意常数.解求曲线族所满足的方程,就是求一微分方程,
5、所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.此所求的微分方程的阶数应与常数的个数相等.这里,法来得到所求的微分方程.已知曲线族中的任意我们通过消去任意常数的方对求导,得再从解出代入上式得使因在等式两端化简即得到所求的微分方程微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;四、小结思考题思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.练习题练习题答案
