高校多元统计教材第7章因子分析1

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1、高校多元统计教材第七章因子分析第一节引言第二节因子分析模型第三节因子载荷矩阵求解第四节公因子重要性的分析第五节实例分析与计算机实现第一节引言一般认为因子分析是从CharlesSpearman在1904年发表的文章《对智力测验得分进行统计分析》开始，他提出这种方法用来解决智力测验得分的统计方法。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都取得了成功的应用，是多元统计分析中典型方法之一。因子分析(factoranalysis)也是一种降维、简化数据的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中

2、的基本结构，并用少数几个“抽象”的变量来表示其基本的数据结构。这几个抽象的变量被称作“因子”，能反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而因子一般是不可观测的潜在变量。例如，在商业企业的形象评价中，消费者可以通过一系列指标构成的一个评价指标体系，评价百货商场的各个方面的优劣。但消费者真正关心的只是三个方面：商店的环境、商店的服务和商品的价格。这三个方面除了价格外，商店的环境和服务质量，都是客观存在的、抽象的影响因素，都不便于直接测量，只能通过其它具体指标进行间接反映。因子分析就是一种通过

3、显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。又比如，在研究区域社会经济发展中，描述社会与经济现象的指标很多，过多的指标容易导致分析过程复杂化。一个合适的做法就是从这些关系错综复杂的社会经济指标中提取少数几个主要因子，每一个主要因子都能反映相互依赖的社会经济指标间共同作用，抓住这些主要因素就可以帮助我们对复杂的社会经济发展问题进行深入分析、合理解释和正确评价。因子分析的内容非常丰富，常用的因子分析类型是R型因子分析和Q型因子分析。R型的因子分析是对变量作因子分析，Q型因子分析是对样品作因子

4、分析。本章侧重讨论R型因子分析。第二节因子分析模型一因子分析的数学模型二因子载荷阵的统计意义一、因子分析的数学模型无论是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求m

5、数据变异的方向，归纳重要信息。而因子分析从本质上看是从显在变量去“提练”潜在因子的过程。正因为因子分析是一个提练潜在因子的过程，因子的个数m取多大是要通过一定规则确定的，并且因子的形式也不是唯一确定的。一般说来，作为“自变量”的因子F1，F2，…，Fm是不可直接观测的。这里我们应该注意几个问题。二、因子载荷阵的统计意义前面的因子分析模型中出现了一个概念叫因子载荷矩阵，实际上因子载荷矩阵存在明显的统计意义。为了对因子分析过程和计算结果做详细的解释，我们对因子载荷矩阵的统计意义加以说明。第三节因子载荷矩阵求解

6、一因子载荷矩阵的求解二约相关阵的估计一、因子载荷矩阵的求解这样在模型上就解决了从约相关阵R*出发求载荷矩阵A二、约相关阵的估计第四节公因子重要性的分析一因子旋转二因子得分一、因子旋转因子分析的目标之一就是要对所提取的抽象因子的实际含义进行合理解释。有时直接根据特征根、特征向量求得的因子载荷阵难以看出公共因子的含义。例如，可能有些变量在多个公共因子上都有较大的载荷，有些公共因子对许多变量的载荷也不小，说明它对多个变量都有较明显的影响作用。这种因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很难对因子的

7、实际背景进行合理的解释。这时需要通过因子旋转的方法，使每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其余的公共因子上的载荷比较小，至多达到中等大小。这时对于每个公共因子而言（即载荷矩阵的每一列），它在部分变量上的载荷较大，在其它变量上的载荷较小，使同一列上的载荷尽可能地向靠近1和靠近0两极分离。这时就突出了每个公共因子和其载荷较大的那些变量的联系，矛盾的主要方面显现出来了，该公共因子的含义也就能通过这些载荷较大变量做出合理的说明，这样也显示了该公共因子的主要性质。当m>2时，我们可以逐次对每两个公共因子和进

8、行上述旋转。对公因子Fl和Fk进行旋转，就是对A的第l和k两列进行正交变换，使这两列元素平方的相对方差之和达到最大，而其余各列不变，其正交变换矩阵为二、因子得分第五节实例分析与计算机实现一利用SPSS进行因子分析二因子分析在市场研究中的应用一、利用SPSS进行因子分析（一）操作步骤1.在SPSS窗口中选择Analyze→DataReduction→Factor，调出因子分析主界面图(7.1)，并将变量X1—X13移入Varia