高校多元统计教材第6章主成分分析

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1、高校多元统计教材第六章主成分分析第一节引言第二节主成分的几何意义及数学推导第三节主成分的性质第四节主成分方法应用中应注意的问题第五节实例分析与计算机实现第一节引言多元统计分析处理的是多变量（多指标）问题。由于变量较多，增加了分析问题的复杂性。但在实际问题中，变量之间可能存在一定的相关性，因此，多变量中可能存在信息的重叠。人们自然希望通过克服相关性、重叠性，用较少的变量来代替原来较多的变量，而这种代替可以反映原来多个变量的大部分信息，这实际上是一种“降维”的思想。主成分分析也称主分量分析，是由Hotellin

2、g于1933年首先提出的。由于多个变量之间往往存在着一定程度的相关性。人们自然希望通过线性组合的方式，从这些指标中尽可能快地提取信息。当第一个线性组合不能提取更多的信息时，再考虑用第二个线性组合继续这个快速提取的过程，……，直到所提取的信息与原指标相差不多时为止。这就是主成分分析的思想。一般说来，在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。以各个主成分为分量，就得到一个更低维的随机向量；因此，通过主成分既可以降低数据“维数”又保留了原数据的大部分信息。我们知道，当一个变量只取一个数据时，这

3、个变量（数据）提供的信息量是非常有限的，当这个变量取一系列不同数据时，我们可以从中读出最大值、最小值、平均数等信息。变量的变异性越大，说明它对各种场景的“遍历性”越强，提供的信息就更加充分，信息量就越大。主成分分析中的信息，就是指标的变异性，用标准差或方差表示它。主成分分析的数学模型是，设p个变量构成的p维随机向量为X=（X1，…，Xp）′。对X作正交变换，令Y=T′X，其中T为正交阵，要求Y的各分量是不相关的，并且Y的第一个分量的方差是最大的，第二个分量的方差次之，……，等等。为了保持信息不丢失，Y的各分

4、量方差和与X的各分量方差和相等。第二节主成分的几何意义及数学推导一主成分的几何意义二主成分的数学推导一、主成分的几何意义主成分分析数学模型中的正交变换，在几何上就是作一个坐标旋转。因此，主成分分析在二维空间中有明显的几何意义。假设共有n个样品，每个样品都测量了两个指标（X1，X2），它们大致分布在一个椭圆内如图6.1所示。事实上，散点的分布总有可能沿着某一个方向略显扩张，这个方向就把它看作椭圆的长轴方向。显然，在坐标系x1Ox2中，单独看这n个点的分量X1和X2，它们沿着x1方向和x2方向都具有较大的离散性

5、，其离散的程度可以分别用的X1方差和X2的方差测定。如果仅考虑X1或X2中的任何一个分量，那么包含在另一分量中的信息将会损失，因此，直接舍弃某个分量不是“降维”的有效办法。图6.1主成分的几何意义易见，n个点在新坐标系下的坐标Y1和Y2几乎不相关。称它们为原始变量X1和X2的综合变量，n个点y1在轴上的方差达到最大，即在此方向上包含了有关n个样品的最大量信息。因此，欲将二维空间的点投影到某个一维方向上，则选择y1轴方向能使信息的损失最小。我们称Y1为第一主成分，称Y2为第二主成分。第一主成分的效果与椭圆的形

6、状有很大的关系，椭圆越是扁平，n个点在y1轴上的方差就相对越大，在y2轴上的方差就相对越小，用第一主成分代替所有样品所造成的信息损失也就越小。考虑两种极端的情形：一种是椭圆的长轴与短轴的长度相等，即椭圆变成圆，第一主成分只含有二维空间点的约一半信息，若仅用这一个综合变量，则将损失约50％的信息，这显然是不可取的。造成它的原因是，原始变量X1和X2的相关程度几乎为零，也就是说，它们所包含的信息几乎不重迭，因此无法用一个一维的综合变量来代替。另一种是椭圆扁平到了极限，变成y1轴上的一条线，第一主成分包含有二维空

7、间点的全部信息，仅用这一个综合变量代替原始数据不会有任何的信息损失，此时的主成分分析效果是非常理想的，其原因是，第二主成分不包含任何信息，舍弃它当然没有信息损失。二、主成分的数学推导第三节主成分的性质一主成分的一般性质二主成分的方差贡献率一、主成分的一般性质二、主成分的方差贡献率第四节主成分方法应用中应注意的问题一实际应用中主成分分析的出发点二如何利用主成分分析进行综合评价一、实际应用中主成分分析的出发点这里我们需要进一步强调的是，从相关阵求得的主成分与协差阵求得的主成分一般情况是不相同的。实际表明，这种差

8、异有时很大。我们认为，如果各指标之间的数量级相差悬殊，特别是各指标有不同的物理量纲的话，较为合理的做法是使用R代替∑。对于研究经济问题所涉及的变量单位大都不统一，采用R代替∑后，可以看作是用标准化的数据做分析，这样使得主成分有现实经济意义，不仅便于剖析实际问题，又可以避免突出数值大的变量。二、如何利用主成分分析进行综合评价人们在对某个单位或某个系统进行综合评价时都会遇到如何选择评价指标体系和如何对这些指标进行综