因式分解教学中数学思想方法的渗透与运用.doc

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1、内江市东兴区杨家镇中心学校教师：郭宏杰因式分解教学中数学思想方法的渗透与运用在数学教学中，要培养学生良好思维品质，提高思维能力，就必须在传授知识的同时，加强数学思想方法的教学。现以因式分解教学为例，谈几点看法。一、类比思想的渗透与运用在因式分解的概念教学中，引导学生将因式分解与因数分解进行类比能收到很好的效果。(1)、从学习目的性上类比，小学里学习分数时，为了约分与通分的需要，必须学会把一个整数分解因数。类似的，代数里学完了整式四则运算就开始学习分式，为了约分与通分，也必须学会把一个多项式分解因式。这样类比能引起学生自觉的求知欲。(2)、从形式上类比，把整数21因数分解

2、是3×7。类似地，x2-y2是x＋y和x－y乘积的结果，因而多项式x²－y²因式分解为﹙x＋y﹚﹙x－y﹚。x＋y、x－y都是多项式x²－y²的因式。这样类比使学生领会了因式分解的意义，也指明了因式分解的方法。(3)、从结果上类比。把一个整数分解质因数幂的形式，如18＝3²×2。类似地，把一个多项式分解因式，要分解到每一个因式都不能再分解为止，即分解后的因式必须是质因式。通过这样的类比，学生能认识从数到式的发展过程，是特殊到一般的思维体现，有助于学生自觉产生对概念的迁移，使学生真正理解因式分解。二、换元思想的渗透与运用（1）、在进行运用公式法进行因式分解教学时，应紧紧抓

3、住“替换”（或“代换”）两个字，渗透换元思想，让学生理解公式中字母既可用具体的数代换，也可以用单项式、多项式甚至更复杂的代数式替换。如：4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y)↓↓↓↓a2—b2=(a+b)(a-b)（2）、将多项式中的某一代数式用辅助元替换，可使生疏的形式变为熟悉的式子，便于问题的解决。如：把﹙x²＋x﹚﹙x²＋x＋4﹚+4因式分解。设x²＋x＝y,则原多项式可变为y﹙y＋4﹚+4,从而转化为关于y的二次三项式y²＋4y+4的因式分解。（3）、要将一个多项式分解因式，可以假定这个多项式已经分解成了几个因式之积，用字母代替因

4、式的各项系数，将这些假定的因式相乘，与原多项式比较得出相应的系数。如：7x²－11x－6,因为二次三项式二次系数7＝7×1,故可设它的二个一次因式为7x＋a和x＋b,由﹙7x＋a﹚﹙x＋b﹚＝7x²＋﹙a＋7b﹚x＋ab与原多项式比较可知，a＋7b＝﹣11,ab＝﹣6,从而求得a＝3,b＝﹣2,即7x²－11x－6＝﹙7x＋3﹚﹙x－2﹚。三、分类思想的渗透与运用在分组分解法的教学中，如何分组是学生不易掌握的难点，教师应引导学生从实际出发，选取恰当的标准，把它的各项不重复、不遗漏地划分为若干类。通过分类讨论寻找正确的分组方法。（1）、以次数分类进行分组。例如：把2a²－

5、5ab－3b²＋a＋11b－6因式分解。则2a²－5ab－3b²＋a＋11b－6＝﹙2a²－5ab－3b²﹚＋﹙a＋11b﹚－6＝﹙2a＋b﹚﹙a－3b﹚＋﹙a＋11b﹚－6＝﹙2a＋b－3﹚﹙a－3b＋2﹚。（2）、以某字母为主元分类进行分组。如上例可以a为主元即2a²－5ab－3b²＋a＋11b－6＝2a²＋﹙1－5b﹚a＋﹙﹣3b²＋11b－6﹚＝2a²＋﹙1－5b﹚a－﹙3b－2﹚﹙b－3﹚＝﹙a－3b＋2﹚﹙2a＋b－3﹚。（3）、以项数分类进行分组例如，要分解的多项式有四项，可考虑“三一”分组或：“两两”分组。：“三一”分组是指第①、②、③、④项按①、②③④

6、,③、①②④,④、①②③,进行分组。“两两”分组是指将多项式的四项按①②、③④、①③、②④、①④、②③,进行分组。这样，既不重复、又不遗漏地进行分类讨论，从而找到合适的分组方法。四、方程思想的渗透与运用要将一个二次三项式分解因式，可以首先令这个一元二次三项式等于零，得到一个一元二次方程，求出方程的两根，再将多项式分解因式。特别是在实数范围内对二次三项式的因式分解，用这种方法尤为方便。若方程ax²＋bx＋c＝0﹙a≠0﹚的根为x1，x2则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)例如分解因式2x2+5x-3,只要令2x2+5x-3=0得x1=-3,x2=1/2，则2x2

7、+5x-3=2(x-1/2)(x+3)=(2x-1)(x+3)五、转化思想的渗透与运用例如要分解因式a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2，可将多项式转化为关于a的二次三项式(b-c)a2+(c2-b2)a+(b2c-bc2)，再利用提取公因式(b-c)和分组分解法即可达到分解的目的。又如分解因式x3-3x+2，通过将多项式的某一项（或几项），或者给多项式添项、减项，转化为利用分解法进行因式分解，也能化难为易。即x3-3x+2=x3-x-2x+2=(x3-x)-2(x-1)=x(x+1)(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x2+