（新课改地区）高考数学核心素养测评二十三正弦定理和余弦定理新人教B版.docx

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1、核心素养测评二十三正弦定理和余弦定理(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,a=2,b=2,B=45°,则A为(　　)A.60°或120°　　　　　　　B.60°C.30°或150°D.30°【解析】选A.在△ABC中,由正弦定理得=,所以sinA===.又a>b,所以A>B,所以A=60°或A=120°.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,则b等于(　　)A.　　　　B.C.2　　　　D.3【解析】选D.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(

2、舍去).3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcosC,则此三角形一定是(　　)A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选C.在△ABC中,因为cosC=,所以a=2bcosC=2b·,所以a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以此三角形一定是等腰三角形.4.在△ABC中,∠A=60°,a=,b=,则△ABC解的情况是(　　)A.无解B.有唯一解C.有两解D.不能确定【解析】选B.因为在△ABC中,∠A=60°,a=,b=,所以根据正弦定理得sinB===,因为∠A=60°,得∠B+∠C=120°,所以由sinB=

3、,得∠B=30°,从而得到∠C=90°,因此,满足条件的△ABC有且只有一个.【变式备选】已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=x,b=2,B=30°,若三角形有两个解,则x的取值范围是(　　)A.(2,+∞)　B.(2,2)C.(2,4)　D.(2,2)【解析】选C.因为三角形有两个解,所以xsinBB,则>D.Aco

4、s2B【解析】选ABD.对A选项.若AB,设A=,B=,所以<0,>0,所以该选项错误.对D选项.A-sin2B,所以1-sin2A>1-sin2B,所以cos2A>cos2B,故该选项正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC=c,则C=________;若c=,

5、△ABC的面积为,则△ABC的周长为________. 【解析】在△ABC中,因为2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理可得2cosC=sinC,又由sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,整理得2cosCsinC=sinC,因为C∈(0,π),则sinC>0,所以cosC=,所以C=,又由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC,即a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=7,又因为S△ABC=absin=,解得ab=6,所以(a+b)2-18=7,即a+b=5,所以△ABC的周长为5+.答案:　5+7.在△ABC中,三个内角A,B,C的

6、对边分别为a,b,c,若bcosA=sinB,且a=2,b+c=6,则△ABC的面积为________. 【解析】由题意可得:abcosA=asinB,所以asinBcosA=sinAsinB,所以tanA=a=,所以A=.利用余弦定理有cosA===,结合a=2,b+c=6可得:bc=8,则S△ABC=bcsinA=×8×=2.答案:2【变式备选】在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若(b+2sinC)·cosA=-2sinAcosC,且a=2,则△ABC面积的最大值是________. 【解析】因为(b+2sinC)cosA=-2sinAcosC,

7、所以bcosA=-2(sinCcosA+sinAcosC)=-2sin(A+C)=-2sinB,则=,结合正弦定理得==,即tanA=-,∠A=π,由余弦定理得cosA==-,化简得b2+c2=12-bc≥2bc,故bc≤4,S△ABC=bcsinA≤×4×=.答案:8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+bsinB+bsinA=csinC,a=2,b=2,则sinB=________. 【解析】因为asinA+bsinB+bsinA=csinC,所