恒等变换与伸压变换.doc

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1、恒等变换、伸压变换【教学目标】1．掌握恒等变换矩阵和伸压变换矩阵的特点，理解恒等、伸压变换的几何意义．2．熟练运用恒等变换和伸压变换进行平面图形的变换【教学过程】一、问题情境问题1：给定一个二阶矩阵，就确定了一个变换，它的作用是将平面上的一个点(向量)变换成另外一个点(向量)．反过来，平面中常见变换是否都可以用矩阵来表示呢？如果可以，又该怎样表示呢？问题2：已知△ABC,A(2,0),B(-1,0),C(0,2),它们在变换T作用下保持位置不变,能否用矩阵M来表示这一变换?二、数学建构1．恒等变换设△ABC上的任一点（x，y）变换后对

2、应的点为（x′，y′）则有T：，又，故．由矩阵确定的变换TM称为恒等变换，我们把矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E．平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己．2．伸压变换由矩阵M=或M=确定的变换TM称为（垂直）伸压变换，我们把矩阵称为沿轴或轴的垂直伸压变换矩阵．当M=时，确定的变换将平面图形作沿x轴方向伸长或压缩；当时伸长，当时压缩．变换TM确定的变换不是简单地把平面上的点(向量)沿x轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x轴方向伸长或压缩,以为例，对于x轴上方的点向下压缩，对于x轴下方的点向上压

3、缩，对于x轴上的点变换前后原地不动．当M=时确定的变换将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,当时伸长，当时压缩．在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．三、运用新知第3页共3页例1求在矩阵M=作用下的图形．例2已知曲线y＝sinx经过变换T作用后变为新的曲线y＝sin2x，画出相关的图象，并求出变换T对应的矩阵M．例3验证圆C:在矩阵A=对应的伸压变换下变为一个椭圆,并求此椭圆的方程．四、课堂练习1．已知四边形ABCD的顶点分别为A（-1，0），B（1，0），C（1，1），D（-1，1），四边形ABCD在矩阵变换作用下变成正方

4、形，则＝（　　　）.Ａ、Ｂ、2Ｃ、3Ｄ、2．若直线y=4x-4在矩阵M对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1，则M=__________.3．求圆C：在矩阵对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型五、课堂小结1．恒等变换矩阵2．当伸压变换M=确定的变换，将原来平面图形上的横坐标，纵坐标；伸压变换M=确定的变换，将原来平面图形上的横坐标，纵坐标．【课后巩固】1．点（－１，k）在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为（-2,　-4　），则m、k第3页共3页的值分别为．2．已知曲线经过伸压变换T作用后变为新的曲线，试求变换T对应的矩阵M．3

5、．研究坐标平面上正方形OBCD在矩阵作用下所得几何图形。其中O（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．4．研究坐标平面上正方形OBCD在矩阵作用下的变换。其中O（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．5．求把△ABC变成△A’B’C’的变换矩阵M，其中A（0，0），B（2，0），C（1，1），A’（0，0）B’（2，0），C‘（1，2）．第3页共3页