重点初中数学奥林匹克竞赛教程.doc

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1、初中数学奥林匹克竞赛教程（初稿）2004年5月8日125/125初中数学竞赛大纲（修订稿）  数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用.目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要.   本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的.《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现

2、四个现代化学好数学的积极性.”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法.同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”.   《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求.除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容.这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则

3、，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高.1、实数十进制整数及表示方法.整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定.   素数和合数，最大公约数与最小公倍数.   奇数和偶数，奇偶性分析.   带余除法和利用余数分类.   完全平方数.   因数分解的表示法，约数个数的计算.   有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性.2、代数式   综合除法、余式定理.   拆项、添项、配方、待定系数法.   部分分式.   对称式和轮换对称式.3、恒等式与恒等变形   恒等式，恒等变形.   整式、分式、根式的恒等变形. 

4、  恒等式的证明.4、方程和不等式含字母系数的一元一次、二次方程的解法.一元二次方程根的分布.   含绝对值的一元一次、二次方程的解法.125/125   含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法.   含绝对值的一元一次不等式.   简单的一次不定方程.   列方程（组）解应用题.5、函数    y=

5、ax+b

6、,y=

7、ax2+bx+c

8、及y=ax2+bx+c的图像和性质.二次函数在给定区间上的最值.简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数.6、逻辑推理问题抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造

9、抽屉.   简单的组合问题.   逻辑推理问题，反证法.   简单的极端原理.   简单的枚举法.7、几何    四种命题及其关系.三角形的不等关系.同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系.   面积及等积变换.三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质.125/125第一讲 整数问题：特殊的自然数之一A1－001求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．【题说】1956年～1957年波兰数学奥林匹克一试题1．x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜

10、a≤9，0≤b≤9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≤18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．A1－002假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．【题说】1953年匈牙利数学奥林匹克题2．【证】设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2

11、（n2＋d）＝n2（k2＋2k）但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．A1－003试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．【题说】1962年上海市赛高三决赛题1．【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立． A1－004已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全

12、平方数．【题说】1963年全俄数学奥林匹克十年级题2．算术级数有无穷多项．【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．A